1、题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题题型练第62页一、解答题1.已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=513,求cos 的值.解:(1)由角的终边过点P-35,-45,得sin=-45,所以sin(+)=-sin=45.(2)由角的终边过点P-35,-45,得cos=-35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=-5665或cos=1665.2.(2020全国,理17)ABC中,sin2A-sin2
2、B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.由得cosA=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1),得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+3.又0B0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且ABC是边
3、长为4的正三角形.(1)求与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0-103,23,求f(x0+1)的值.解:(1)由已知可得f(x)=a32cosx+12sinx=asinx+3.BC=T2=4,T=8,=28=4.由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=23.(2)由(1)知f(x0)=23sin4x0+3=835,即sin4x0+3=45.x0-103,23,4x0+3-2,2,cos4x0+3=1-452=35,f(x0+1)=23sin4x0+4+3=23sin4x0+3+4=23sin4x0+3cos4+cos4x0+3sin4=234522+3
4、522=765.6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)cos C+ccos B=0.(1)若ABC的面积为32,求c;(2)若点D为线段AB的中点,ACD=30,求a,b.解:(1)(2a+b)cosC+ccosB=0,(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,即2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0.2sinAcosC+sin(B+C)=0,即2sinAcosC+sinA=0.A(0,),sinA0.cosC=-12.C(0,),sinC=32.SABC=12absinC=3ab4=32.ab=2.在ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=25-2=23,c=23.(2)cosC=-12,C=120.又ACD=30,BCD=90.记ADC=,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=msin.在ACD中,msin30=bsin,b=2msin.b=2a.又a+b=5,a=53,b=103.
