1、专题4立体几何对历年的高考试题进行再加工、改造，并赋予新意是高考命题的一个手段.命题角度1空间几何体的体积【真题示例1】(2014山东高考，理13)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_【解析】设点A到平面PBC的距离为h.D，E分别为PB，PC的中点，SBDESPBC，.【答案】【真题探源】(2012山东高考，文13)如图41，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_图41【点评】对照两题我们可以看出：2014年山东高考理科第13题与2012年山东高考文科第13题命题角度完
2、全一致，只是改变了几何图形，姊妹题命题角度2点、线、面的位置关系【真题示例2】(2015山东高考，文18)如图42，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.图42【解】(1)法一如图，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点又H为BC的中点，所以MHBD.又MH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可
3、得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)如图，连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.【真题探源】(2011山东高考，文19)如图43，在四棱台ABCDA1B1C1D1中
4、，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.图43(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.【点评】对照两题我们可以看出：2015年山东高考文科第18题与2011年山东高考文科第19题的命题背景几乎一致，姊妹题习题推荐1如图44，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？图44【推荐理由】该题较好的考查了对空间几何体概念的理解，同时有很多三视图的题目都以此为依托，对正方体进行切割，改造习题推荐2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积【推荐理由】该题
5、是球的切接问题的模板，有较多的拓展、变式习题推荐3一块边长为10 cm的正方形铁片按如图45所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥)形容器，试把容器的容积V表示为x的函数图45【推荐理由】该题较全面的把空间几何体的折叠与展开展示的淋漓尽致，同时借助函数的思想研究立体图形的最值问题，值得借鉴，经典习题推荐4如图46，AB是O的直径，点C是O上的动点，过动点C的直线VC垂直于O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由图46【推荐理由】该题以三棱锥为载体，融圆的知识
6、于其中，较好的考查了有点线面的位置关系，是各地模拟及高考命题的优秀素材之一，经典第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积【明考情5年山东高考命题分析】年份题号考查要点难度2015年9旋转体的概念，空间组合体的体积计算中2014年13六棱锥的侧面积中2013年4空间几何体三视图的表面积、体积计算中2012年13三棱锥的体积计算中2011年11空间几何体的三视图中命题预测：1以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算2以多面体与球的切接为载体，考查几何体的表面积、体积的计算.【理要点5分钟回扣核心知识】一、熟记核心要点1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关
7、系2空间几何体的三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图的基本要求： “长对正、高平齐、宽相等”3常见的一些简单几何体的表面积和体积公式(1)圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)；(2)圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)；(3)圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中r和r分别为圆台的上、下
8、底面半径，l为母线长)；(4)柱体的体积公式：VSh(S为柱体的底面面积，h为高)；(5)锥体的体积公式：VSh(S为锥体的底面面积，h为高)；(6)台体的体积公式：V(SS)h(S、S分别为上、下底面面积，h为高)；(7)球的表面积和体积公式：S4R2，VR3(R为球的半径)二、掌握二级结论1长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R2棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2R3棱长为a的正方体的面对角线长等于内切球的直径，即a2R三、澄清易错易混点1注意三视图中实、虚线的区别，即看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线2对简单组合体表面积与体积的
9、计算要注意是构成几何体的面积、体积的和还是差考点1三视图与直观图题型：选择、填空难度：基础分值：5分热点考查空间几何体的三视图与直观图间对应关系，即三视图的识别、还原及有关计算知识小脉络：(1)(2014全国卷)如图411，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱图411(2)(2014湖北高考)在如图412所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图412A和B和C和D和有【解析】(1)如图
10、，几何体为三棱柱(2)由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是.【答案】(1)B(2)D三视图的读图与画图的关键点先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果【题组演练】1(2015日照模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图413所示，则其俯视图
11、不可能为长方形；正方形；圆；椭圆中的()图413A B C D【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立，故选B.【答案】B2(2015平顶山模拟)已知四棱锥PABCD的三视图如图414所示，则围成四棱锥PABCD的五个面中面积的最大值是()图414A3B6 C8D10【解析】四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中侧面PCD底面ABCD，且顶点P在平面ABCD内的射影为CD的中点E，取AB的中点F，连接PF，FE，PE.易知PE，EF2，所以PF3.显然四棱锥的四个侧面中PAB的面积最大，其面积为436，又底面积为428，故四棱锥PABCD的五
12、个面中面积的最大值为8. 【答案】C考点2空间几何体的表面积与体积题型：选择、填空难度：中等分值：5分热点以三视图、空间几何体、组合体为载体，求解几何体的表面积或体积知识小脉络：(1)(2015山东高考)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2(2)如图415，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1DBC的体积为()图415A66 B68 C70 D72【解析】(1)过点C作CE垂
13、直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，选C.(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.【答案】(1)C(2)A1利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”2求不规则几
14、何体的体积，常用“割补”的思想【题组演练】1某几何体的三视图如图417所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为()图417A.BC.D【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆锥，其底面半圆的半径为1，高为，故所求表面积为2122，故选C.【答案】C2多面体MNABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图418，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是()图418A.BC.D【解析】过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由侧视图知三棱柱底面是等腰三角形，面积为S1222，高为2，所以体积为V14，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为
15、V12212，所以多面体的体积为V4，故选D.【答案】D考点3多面体与球题型：选择、填空难度：中等分值：5分热点多面体外接球的表面积和体积的计算，考查空间想象能力及转化与化归思想知识小脉络：(1)(2015潍坊二模)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，底面ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC2，则此三棱锥的体积为()图418A. B. C. D.(2)(2015衡水模拟)一个几何体的三视图如图419所示，则该几何体的外接球的体积为()图419A4 B12 C2 D4【解析】(1)连接OA，OB，三棱锥OABC为正四棱锥，高为h，则点S到底面ABC的距离d，VSABCS
16、ABCd，故选A.(2)由三视图可知几何体的直观图如图所示，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个三棱锥，它的外接球就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是2R2，故该外接球的体积V4.【答案】(1)A(2)A多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直
17、，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2a2b2c2求解【题组演练】1(2015临汾四校联考)在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A6B12 C32D36【解析】因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，又三棱锥SABC为正三棱锥，所以SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选B.【答案】B2(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C
18、为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36B64 C144D256【解析】如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.【答案】C思想方法系列之(6)用等价转化思想破解空间几何体的体积问题【案例】(2015上饶模拟)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B C
19、.D【审题指导】【解析】由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.【答案】A转化思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等积法：(1)补法是指把不规则(不熟悉或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形(2)割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体(3)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件转化为
20、易求的面积(体积)问题【活学活用】(2015四川高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_【解析】由三视图易知几何体ABCA1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VPA1MNVA1PMNVAPMN.又SPMNMNNP1，A到平面PMN的距离h，VAPMNSPMNh.【答案】课时分层练(十一)(建议用时：45分钟)【A组强化练保一本】一、选择题1某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D
21、三棱柱【解析】由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.【答案】A2(2015九江模拟)如图4110，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()图4110A8 B4 C8 D4【解析】直观图如图所示三棱锥PABC，SPABSPACSPBCSABC22sin 602，故此棱锥的表面积为8，故选A.【答案】A3已知某几何体的三视图如图4111所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()图4111A.BC.D【解析】由三视
22、图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V1，故选C.【答案】C4(2015丰台模拟)图4112是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()图4112A4 B5 C3 D3【解析】根据三视图画出此几何体的直观图如下，由三视图的度量关系可计算出AF3EG5AG3，最长距离为3.【答案】D5三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SAABBC1，则球O的表面积为()A. B C3 D12【解析】如图，因为ABBC，所以AC是ABC所在截面圆的直径，又因为SA平面ABC，所以SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条
23、直径由题设SAABBC1，由勾股定理可求得：AC，SC，所以球的半径R，所以球的表面积为43.【答案】C6(2015湖南高考)某工件的三视图如图4113所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()图4113A.BC.D【解析】由三视图想到该几何体(圆锥)，要求的应为圆锥的内接正方体的体积与该圆锥体积之比由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为2，设其内接正方体的棱长为x，则，x.V新工件x3.又V原工件122，.故选A.【答案】A7已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB
24、3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2 C. D3 【解析】ABAC，且AA1底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l2R. 2R，R，故选C.【答案】C8某几何体的三视图如图4114所示，则该几何体的体积的最大值为()图4114A1 B C. D【解析】由题中三视图可知，该几何体为三棱锥，设此三棱锥的高为x，则主视图中的长为，所以所求体积Vx，当且仅当x，即x时取等号，所以该几何体的体积的最大值为，故选D.【答案】D二、填空题9若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_【解析】因为半圆面的面积为l22，所以l24，l2，即圆锥的
25、母线长l2，底面圆的周长2rl2，所以圆锥的底面圆的半径r1，所以圆锥的高h，所以圆锥的体积为r2h.【答案】10如图4115，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB2，AD3，PA4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为_图4115【解析】VEPABVPEABPASEAB4234.【答案】411(2015临沂二模)已知点A，B，C，D均在球O的球面上，ABBC1，AC，若三棱锥DABC体积的最大值是，则球O的表面积为_【解析】如图所示，因为ABBC1，AC，所以cosABC，ABC，在ABC中，由正弦定理得2BO，BO1.当三棱锥DACB的高最大时，体积最大，
26、所以DO平面ABC，且11sinDO，DO，又因为BO2DOOE，所以OE，2R，R，球O的表面积为4R24.【答案】12如图4116，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_图4116【解析】沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6.【答案】6【B组押题练冲名校】1在三棱锥PABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3，4，5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为_【解析
27、】侧棱PA，PB，PC两两垂直，过点P和Q的所有球中，表面积最小的球是以PQ为体对角线，长、宽、高分别是4，3，5的长方体的外接球，此球的表面积是50.【答案】502如图4117，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AB，CD上，若EF2，现有以下五种说法：图4117四面体PEFQ的体积与点P，Q的位置无关；EFQ的面积为定值；四面体PEFQ的体积与点P的位置有关，与点Q的位置无关；四面体PEFQ的体积为正方体体积的；点P到平面EFQ的距离随着P的变化而变化其中正确的序号是_【解析】由题意，EFQ的高始终为定值，即矩形A1B1CD的宽为4，又E
28、F2，故其面积为定值244，故正确；又AB平面A1B1CD，故点P到EFQ的距离为定值，故错误；连接B1C与BC1交于点O，则OB即为点P到EFQ的距离，为2，四面体PEFQ的体积为定值42，故正确，错误；体积之比为，故正确【答案】第2讲高考中的立体几何【明考情5年山东高考命题分析】年份题号考查要点难度2015年18以三棱台为载体考查线面平行及面面垂直的证明中2014年18以四棱锥为载体考查线面平行及面面垂直的证明中2013年19以四棱锥为载体考查线线平行的证明及面面垂直的证明中2012年19以四棱锥为载体考查长度相等及线面平行的证明中2011年19以四棱台为载体考查线线垂直及线面的平行证明中
29、命题预测：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查线面角和二面角的计算.【理要点5分钟回扣核心知识】一、熟记核心要点1线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a线面平行的性质定理ab线面垂直的判定定理l线面垂直的性质定理ab面面平行的判定定理面面平行的性质定理ab2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理a二、掌握二级结论平行关系及垂直关系的转化三、澄清易错易混点1证明线面平行时，忽视“直线在平面外”“直线在平面内”等条件的说明2证明线面垂直时，忽视“平面内两
30、条相交直线”这一条件3当题目涉及面面垂直的条件时，一般转化为线面垂直，应用时注意在面面垂直的前提下，过平面内一点，垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内考点1线、面位置关系的判断题型：选择、填空难度：基础分值：5分热点空间点、直线、平面位置关系的判断知识小脉络：(1)(2015广州模拟)用a，b，c表示空间中三条不同的直线， 表示平面， 给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，ac，则bc；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D (2)(2013全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线
31、垂直于lD与相交，且交线平行于l【解析】(1)若ab, bc, 则ac或a与c相交或a与c异面，所以是假命题；平行于同一直线的两条直线平行，所以是真命题；若a， b， 则ab或a与b相交或a与b异面，所以是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以是真命题，故选D.(2)结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知与相交，且交线平行于l，故选D.【答案】(1)D(2)D空间线面位置关系的判断方法(1)公理法：借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)模型法：借助空间几何模型，如在长方体、四面体等模型中观察线面
32、位置关系，结合有关定理作出选择【题组演练】(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】可以结合图形逐项判断A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确【答案】D考点2空间位置关系的证明题型：解答难度：中等分值：12分热点以锥体或柱体为载体考查空间位置
33、关系的证明知识小脉络：空间位置关系平行、垂直判断依据平行（垂直）的判定定理与性质定理(2015济南模拟)如图421，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形图421(1)设D是AB的中点，证明：直线BC1平面A1DC；(2)在ABC中，若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1.【证明】(1)如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，D是AB的中点，在ABC1中，ODBC1，因为直线OD平面A1DC，BC1平面A1DC.所以直线BC1平面A1DC.(2)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1
34、AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1平面ABC.所以AA1BC.由BCAC ，BCAA1，AA1ACA，所以BC平面ACC1A1.1平行问题中的重点是直线与平面的平行，但要落实到线线平行上，根据题目已知的中点再找相关的中点，利用三角形的中位线定理证明线线平行，是解决平行问题的重要技巧2空间直线的垂直一般是通过线面垂直得到的本题是一道经典的通过线线垂直证明线面垂直，然后再通过线面垂直证明线线垂直的题目，体现了线线、线面垂直关系的相互转化【题组演练】(2015日照模拟)如图422，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，CDPD2EA，PDEA，F，G，H分别为PB，
35、BE，PC的中点图422(1)求证：GH平面PDAE；(2)求证：平面FGH平面PCD.【证明】(1)分别取PD的中点M，EA的中点N.连接MH，NG，MN.因为G，H分别为BE，PC的中点，所以MHCD，NGAB.因为ABCD，所以MHNG，故四边形GHMN是平行四边形，所以GHMN.又因为GH平面PDAE，MN平面PDAE，所以GH平面PDAE.(2)因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为BCCD，PDCDD，所以BC平面PCD.因为F，H分别为PB、PC的中点，所以FHBC，所以FH平面PCD.因为FH平面FGH，所以平面FGH平面PCD.考点3空间位置关系与体积的综
36、合问题题型：解答难度：中等分值：12分热点第(1)问证明垂直关系，第(2)问求几何体的体积或由体积来求点到平面的距离等知识小脉络：(2015东北四市联考)如图423，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD平面ABCD，且PCPDa.(1)求证：PDBC；(2)当a的值为多少时满足PC平面PAD？并求出此时该四棱锥PABCD的体积图423【解】(1)平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，且BC平面ABCD，BCCD，所以BC平面PCD，又PD平面PCD，PDBC.(2)若PC平面PAD，则PCPD，在PCD中，由PCPDa，DC2，则a，事实上，当a时，显然
37、PCPD，结合(1)可知PCAD，由ADPDD，PC平面PAD，取CD的中点O，连接PO，则POCD，平面PCD平面ABCD，PO平面ABCD，PODC1，VPABCD221.空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转换，借助体积的不变性解决问题【题组演练】(2015北京高考)如图424，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，AC
38、BC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积图424【解】(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等
39、，所以三棱锥VABC的体积为.思想方法系列之(7)用等价转化思想破解空间几何体的折叠问题【案例】(2015广州模拟)如图425(1)，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO.沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图425(2)的五棱锥PABFED，且PB.(1)(2)图425(1)求证：BD平面POA；(2)求四棱锥PBFED的体积【审题指导】(1)(2)【解】(1)点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF.菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AOPOO，EF平面POA.BD平面POA.(2)设
40、AOBDH，连接BO，DAB60，ABD为等边三角形. BD4，BH2，HA2，HOPO. 在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED. 梯形BFED的面积为S(EFBD)HO3，四棱锥PBFED的体积VSPO33.折叠问题的求解策略(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【活学活用】(201
41、5陕西高考)如图426(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图426(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值图426【解】(1)证明：在题图(1)中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所
42、以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图(1)知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.课时分层练(十二)(建议用时：45分钟)【A组强化练保一本】一、选择题1若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定【解析】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可
43、以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B，故选D.【答案】D2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且mBmn，且nC，且mDmn，且n【解析】因为，mm，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误【答案】B3在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PAE平面ABCD平面PDF平面ABC【解析】因为B
44、CDF，所以A正确；易知PEBC，AEBC，所以BC平面PAE，所以DF平面PAE，所以B正确；因为BC平面PAE，所以平面PAE平面ABC，所以C正确，故选D.【答案】D4已知，是两个不同的平面，则“平面平面”成立的一个充分条件是()A存在一条直线l，l，lB存在一个平面，C存在一条直线l，l，lD存在一个平面，【解析】在选项A中的条件下，与还可以相交；在选项B中的条件下，与还可以相交；由垂直于同一条直线的两个平面平行知，选项C中的条件是充分的；在选项D中的条件下，与垂直，故选C.【答案】C5如图427是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()图427
45、A互相平行B异面且互相垂直C相交且夹角为D相交且夹角为【解析】把展开图还原为直观图，则l1，l2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为.【答案】C6(2015吉林模拟)已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC2AB2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF平面EFDC，则三棱锥AFEC外接球的体积为()A. B C. D2【解析】如图，三棱锥AEFC外接球即以AC为体对角线的长方体的外接球，故直径为AC，而AC，故外接球的体积为.【答案】B二、填空题7在四面体ABCD中，M，N分别为ACD和BCD的重心，则四面体ABCD的四个面中与MN平行的是_【
46、解析】如图所示，取CD的中点E，则AE过点M，且AM2ME，BE过点N，且BN2NE.连接MN，则ABMN，MN平行于面ABC和面ABD.【答案】平面ABC和平面ABD8. (2015大连模拟)如图428，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的是_图428ACSBAB平面SCDSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC平面SDB，从而ACSB.故正确；易知正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为AS
47、O，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故正确；由ABCD知，AB与SC所成的角就是CD与SC所成的角SCD，易知SCD，DC与SA所成的角就是AB与SA所成的角SAB，易知SAB.故错误【答案】9如图429，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上的一点，AEPB于E，AFPC于F，下列四个命题：图429BC平面PAC；AF平面PBC；EFPB；AE平面PBC.其中的正确命题是_(请写出所有正确命题的序号)【解析】正确，因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以APBC，又AB为圆的直径，故ACBC，故BC平面PAC；正确，由知BC平面PAC，又AF平面PA
48、C，故BCAF，又AFPC，故AF平面PBC；正确，由知AF平面PBC得AFPB，又AEPB，故PB平面AEF，因此EFPB；错，由于AF平面PBC，若AE平面PBC，则AEAF，与两直线相交不符综上可知只有命题是正确的【答案】三、解答题10如图4210所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1， M是线段B1D1的中点图4210(1)求证：BM平面D1AC；(2)求三棱锥D1AB1C的体积【解】(1)连接D1O，如图，O、M分别是BD、B1D1的中点，BDD1B是矩形，四边形D1OBM是平行四边形，D1OBM.D1O平面D1AC，BM
49、平面D1AC，BM平面D1AC.(2)连接OB1，正方形ABCD的边长为2，BB1，B1D12，OB12，D1O2，则OBD1O2B1D，OB1D1O.又ACBD，ACD1D，且BDD1DD，AC平面BDD1B1，又D1O平面BDD1B1，ACD1O，又ACOB1O，D1O平面AB1C，即D1O为三棱锥D1AB1C的高SAB1CACOB1222，D1O2，VD1AB1CSAB1CD1O22.11(2015海口二模)如图4211，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为1的菱形，且BAD60，图4211(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)若PA，求三棱锥CPBD的高【解】
50、(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.又PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.PAACA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.(2)由PA，易得PBPD2，ABCD是边长为1的菱形，且BAD60，BD1.连接PO，求得PO.SPBDBDPO1.三棱锥PBCD的体积VPBCDSBCDPA.设三棱锥CPBD的高为h，则VCPBDVPBCD，于是h.h.【B组押题练冲名校】1如图4212，四棱锥PABCD 中， AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC 的中点图4212(1)求证： AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.【证明】(1)设ACB
51、EO，连接OF，EC.由于E为AD的中点， ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC 的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.2. 如图4213，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PD，O为AC与BD的交点，E为棱
52、PB上一点(1)证明：平面EAC平面PBD；(2)若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积图4213【解】(1)PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD.四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBDD，AC平面PBD.又AC平面EAC，平面EAC平面PBD.(2)PD平面EAC，平面EAC平面PBDOE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点，取AD中点H，连接BH，四边形ABCD是菱形，BAD60，BHAD，又BHPD，ADPDD，BH平面PAD，BHAB.VPEADVEPADVBPADSPADBH2.抢分有招系列之(4)立体几何类答题规则“模板引领”中档题立体几何类解答题是高考中档题之一，
53、客观题具有“理论性强、空间想象力高、解题方法灵活”的特点，常以棱锥、棱柱为背景考查学生的空间想象能力，活用答题模板，力保“会而对”或“不失分”是考生赢定高考的前提模板示例：立体几何中的基本关系与基本量问题类答题模板【案例】(12分)(2015全国卷)如图4214，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积图4214【答题模板】第一步画出必要的辅助线，根据条件合理转化.第二步写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分.第三步明确写出所证结论.第四步对几何体进行合理转化(
54、分割或拼补).第五步分别计算几何体的体积并求和.第六步反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范.【模板应用】【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE. 2分故AC平面BED. 4分又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED. 5分(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.7分由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx. 8分由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED. 9分所以EAC的面积为3，EAD的面积
55、与ECD的面积均为. 11分故三棱锥EACD的侧面积为32. 12分1(2015大庆模拟)如图4215，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点图4215(1)在BC边上是否存在一点F，使得PB平面DEF；(2)若PACPBC90，证明：ABPC；(3)在(2)的条件下，若AB2，AC，求三棱锥PABC的体积【解】(1)取BC的中点为F，则有PB平面DEF. 证明：PBEF，PB平面DEF ，PB平面DEF.(2)因为PAB是等边三角形，PACPBC90，所以RtPBCRtPAC，可得ACBC.如图，连接PD，CD，PDAB，CDAB，AB平面PDC，ABPC.(3
56、) PD，CD2，PC3.SPDC.即三棱锥体积VPABC2.2(2015枣庄模拟)如图4216，在边长为1的等边ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图4216所示的三棱锥ABCF，其中BC.图4216(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.【解】(1)在等边ABC中，ADAE，所以，所以DEBC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在等边ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，所以在三棱锥ABCF中，AFCF，BFCF.因为
57、在三棱锥ABCF，BC，所以BC2BF2CF2，CFBF，因为BFAFF，所以CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.VFDEGVEDFGDGFGGE.重难点强化练(三)立体几何中的折叠问题、最值问题及探索问题一、选择题1一块石材表示的几何体的三视图如图1所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1A1B2 C3D4【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r(6810)2.因此选B.【答案】B2图2是棱长为2的正方体的表面展开图，则
58、多面体ABCDE的体积为()图2A2BC.D【解析】多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V4，故选D.【答案】D3(2015北京高考)某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为()图3A1B C.D2【解析】根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD，在RtVBD中，VD.【答案】C4把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥CABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图4所示)，则其侧视图的面积为()图4A.BC1D【解
59、析】正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，在三棱锥CABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O，正方形边长为，AOOC1，侧视图的面积为SAOC11，故选B.【答案】B5(2015贵州八校联盟)如图5，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，点P在AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()图5AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心【解析】易知PA、PE、PF两两垂直，PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理
60、可知AEFO，AFEO，所以O为AEF的垂心，故选A.【答案】A6已知在半径为2的球面上有A，B，C，D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B C2 D【解析】当ABCD时，体积最大，如图：过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB与点P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCDSPCDAB2h2，当直径通过AB与CD的中点时，hmax22，故Vmax.【答案】B二、填空题7(2015大庆模拟)已知等边三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_【解析】设等边三角形的中心
61、为P，由题意OP1，所以PA，所以PE，则AE，要使过点E作球O的截面面积的最小即截面圆的半径最小，则需要OEAB，此时半径rAE，故截面面积为r2.【答案】8(2015合肥模拟)如图6，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起. 下列说法正确的是_(填上所有正确的序号)图6不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.【解析】如图，Q，P分别为CE，DE中点，可证MNPQ是矩形，所以正确；在折起过程中，M
62、N与AB所在直线是异面直线，故错；当平面ADE平面ABCD时，有ECAD，正确【答案】9已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_【解析】设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.【答案】16三、解答题10(2015菏泽模拟)如图7，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC.图7(1)证明：
63、平面ABEF平面BCDE；(2)求三棱锥EABC的体积【解】(1)证明：正六边形ABCDEF中，连接AG、BE，交点 为G，易知AGBE，且AGCG，在多面体中，由AC，知AG2CG2AC2，故AGGC，又GCBEG，GC，BE平面BCDE，故AG平面BCDE，又AG平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE.(2)连接AE、CE，则AG为三棱锥ABCE的高，GC为BCE的高在正六边形ABCDEF中，BE2AF4，故SBCE42，所以 VEABCVABCE22.11四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，点E，F分别在BC，AD上，EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起，
64、使平面ABEF平面EFDC，如图8，设AD的中点为P.(1)当E为BC的中点时，求证：CP平面ABEF；(2)设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积取最大值？并求出这个最大值图8【解】(1)证明：法一取AF的中点Q，连结QE，QP，则QPDF，且QPDF.又DF4，EC2，且DFEC，所以ECDF，且ECDF，所以PQEC，且PQEC，故四边形PQEC为平行四边形，所以CPQE，又QE平面ABEF，CP平面ABEF，所以CP平面ABEF.法二如图，取FD的中点M，连结PM，CM.在ADF中，P，M分别为DA，DF的中点，所以PMAF，且PMAF.又DF4，EC2，且DFEC，所以FME
65、C，且FMEC，即四边形EFMC为平行四边形，所以EFMC.又PMMCM，AFEFF，所以平面PMC平面ABEF.又PC平面PMC，所以CP平面ABEF.(2)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，又AFEF，所以AF平面EFDC，所以平面AFD平面EFDC.已知BEx(0x4)，所以AFx，FD6x，点A到平面ECDF的距离为x.故VACDF2(6x)x(6xx2)(x3)29(x3)23.所以当x3时，VACDF取最大值，最大值为3.12如图9所示，四棱锥EABCD中，EAEB，ABCD，ABBC，AB2CD.图9(1)求证：ABED.(2)线段EA上是否存在点F，使
66、DF 平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解】(1)证明：取AB的中点为O，连接EO，DO.因为EAEB，所以 EOAB. 因为ABCD，AB2CD，所以BOCD，BOCD.又ABBC，所以四边形OBCD为矩形， 所以ABDO.因为EODOO，所以 AB平面EOD.又ED平面EOD，所以ABED.(2)存在，且，即F为EA中点时，有DF平面BCE.证明如下：取EB的中点为G，连接CG，FG. 又F为EA的中点，所以FGAB，FGAB. 因为ABCD，CDAB，所以FGCD，FGCD，所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DFCG. 因为 DF平面BCE，CG平面BCE，所以 DF
67、平面BCE.专题滚动练(四)一、选择题1(2015丰台模拟)已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，且b，那么“ab”是“a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】由线面垂直性质可知，若a，且b ，则ab；若ab，且b ，不足以推出a，故选B.【答案】B2(2015怀化模拟)一个锥体的主视图和左视图如图1所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()图1【解析】对于选项C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；对于选项A、B、D中的视图满足三视图的作法规则，故选C.【答案】C3已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则
68、该正方体的正(主)视图的面积不可能等于()A1 B C. D【解析】当正方体的俯视图是面积为1的正方形时，其正视图的最小面积为1，最大面积为.因为1，因此所给选项中其正视图的面积不可能为，故选C.【答案】C4如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是()图2AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角【解析】由A1C1AC，AC平面ABCD，A1C1平面ABCD，知A1C1平面ABCD，A正确；由BD平面ACC1A1知BDAC1，B正确；由A1DB1C可知，DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又DA1C1为等边三角形，DA1C160，
69、故选C.【答案】C5(2015忻州一中四校联考)在半径为10 cm的球面上有A，B，C三点，如果AB8，ACB60，则球心O到平面ABC的距离为()A2 cmB4 cmC6 cmD8 cm【解析】设ABC外接圆半径为r，则2r16，r8，所以球心到平面ABC的距离为d6，故选C.【答案】C6(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图3，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图3A. B C. D【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V
70、213.所以，故选D.【答案】D7(2015文登模拟)图4为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为()图4A2B3C5D5【解析】由三视图可知，该几何体是三棱柱上面放个球，设球的半径为r，由俯视图可知，2r322sin 60，得r，因此球的体积，三棱柱的体积22sin 6055，因此该几何体的体积V5，故选D.【答案】D8(2014北京高考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1
71、且S3S2DS3S2且S3S1【解析】如图所示，ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1222.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S22.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S32.所以S2S3且S1S3.故选D.【答案】D9给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题的是()ABCD【解析】若m，lA，点Am，则直线l与m是异面直线，所
72、以不共面，所以命题正确；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则在平面内任取一点O，可过点O在平面内分别作直线m、l的平行线m，l，则mlO.由nl，nm，得nl，nm，所以n，所以命题正确；若l，m，则lm，或l与m相交，或l与m异面都有可能，所以命题不正确；若l，m，lmA，l，m，根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以有，因此命题正确；所以正确的命题有，故选C.【答案】C10设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 Ba2 C.a2 D5a2【解析】过三棱柱的侧棱AD及球心O作一平
73、面截球，得如图所示的平面，设点G为正ABC的重心，连接AO，OG，则OGAG，在直角三角形AGO中，设OAR，OG，AGa，故R2，解得R2a2，故球的表面积S4R24a2a2.故选B.【答案】B11如图5，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()图5A90 B75 C60 D45【解析】延长DA至E ，使AEDA ，连接PE，BE，因为ABCBAD90，BC2AD，所以DEBC，DEBC.所以四边形CBED为平行四边形，所以CDBE.所以PBE就是异面直线CD与PB所成的角在PAE中，AEPA，PAE120，由余弦
74、定理得：PEAE，在ABE中，AEAB，BAE90，所以BEAE，因为PAB是等边三角形，所以PBABAE，所以PB2BE2AE22AE23AE2PE2，所以PBE90，故选A.【答案】A12已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为()图6A2 B C. D1【解析】如图，连接AC，交BD于O，连接OE，在CC1A中，易证OEAC1.从而AC1平面BDE，直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离，设为h.由等体积法，得VABDESBDEhVEABDSABDEC22.又在BDE中，BD2，BEDE，SBDE222.
75、h1.故选D.【答案】D二、填空题13某三棱锥的三视图如图7所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_图7【解析】根据三视图，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA平面ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设D为AC中点，AC2，则ADDC1，且BD1，易得ABBC，所以最长的棱为PC，PC2.【答案】214(2015唐山模拟)在半径为2的球面上有不同的四点A、B、C、D，若ABACAD2，则过B、C、D三点的截面面积为_【解析】过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是外心，而外接球球心O位于AM上，如图所示，设BCD所在截面圆半径为r，|OA|OB|R2|AB|，B
76、AO60，在RtABM中，rBM2sin 60，Sr23.【答案】315如图8，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：图8PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【解析】错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.【答案】16如图9，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K
77、为垂足设AKt，则t的取值范围是_图9【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即当F位于DC的中点时，t1，当F点位于C点时，因为CBAB，CBDK，CB平面ABD，即有CBBD，对于CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，因此有ADBD，则有t，因此t的取值范围是.【答案】三、解答题17. (2015山东高考)如图10，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点图10(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.【解】(1)证法一如图(1)，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可
78、得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(1)证法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.(2)由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形
79、所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.18(2015唐山模拟)如图11，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，ACC1CC1B160，AC2.图11(1)求证：AB1CC1；(2)若AB1，求四棱锥ABB1C1C的体积【解】(1)证明：连接AC1，CB1，则ACC1和B1CC1都是正三角形取CC1中点O，连接OA，OB1，则CC1OA，CC1OB1，则CC1平面OAB1，则CC1AB1.(2)由(1)知，OAOB1，又AB1，所以OAOB1.又OACC1，
80、OB1CC1O，所以OA平面BB1C1C.SBB1C1CBCBB1 sin 602，故VABB1C1CSBB1C1COA2.19(2015长望浏宁四县联考)如图12，四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB平面ABCD，PA2，PC4.图12(1)若点E是PC的中点，求证：PA平面BDE；(2)若点F在线段PA上，且FAPA，当三棱锥BAFD的体积为时，求实数的值【解】(1)如图，连接AC，设ACBDQ，又点E是PC的中点，则在PAC中，EQPA，又EQ平面BDE，PA平面BDE.所以PA平面BDE.(2)依据题意可得：PAABPB2，取AB中点O，所以POAB
81、，且PO，又平面PAB平面ABCD，则PO平面ABCD.作FMPO于AB上一点M，则FM平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC平面PAB，则PBC为直角三角形，所以BC2，则直角三角形ABD的面积为SABDABAD2.VBAFDVFABDSABDFMFMFM.由FMPO，得，.20(2015吉林模拟)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，ADBC，ADAB，PDPB，ABBC2AD2PA2.图13(1)求证：平面PAD平面PBC；(2)求证：RS平面PAD；(3)若点Q在线段AB上，且CD平面PDQ，求三棱锥QPCD的
82、体积【解】(1)证明：平面PAB平面ABCD且平面PAB平面ABCDAB，又AD平面ABCD，且ADAB，所以AD平面PAB，ADPB，又PDPB，PDADD，所以PB平面PAD，因为PB平面PCB，所以平面PAD平面PBC.(2)取PB中点T，连接RT、ST，因RTPA，STBC，又ADBC，STAD，又RTSTT，ADPAA，所以平面RST平面PAD，所以RS平面PAD.(3)因为CD平面PDQ，所以PQCD，又PQAD，CDADD，所以PQ面ABCD，则PQAB，由已知PQ，AQ，所以DQ，又CD，DQCD，CDQ的面积SCDQCDDQ，则三棱锥QPCD的体积VSCDQPQ.21(201
83、5山师大附中模拟)已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E、F分别在棱AA，CC上，且AECF2.图14(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明【解】(1)证明：取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AOBC，又因为平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，所以AO平面BCCB，又BB平面BCCB，所以AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC.所以BB底面ABC.(2)显然点M不是A或B点，棱AB上若存在一点M，使得C
84、M平面BEF，过M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，所以MNCF，即CM和FN共面，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点22如图15，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB30.图15(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积【解】(1)证明：EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy1.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，则PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高又POPEsin 3021.SEFCB(24)26.VPBCFE612.
