1、解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)(建议用时：60分钟)1已知函数f(x)sin2xsin2(x)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值2.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AEa.(1)求证：BC平面ACFE；(2)求二面角BEFD的余弦值3(2015江西省九江市第一次统考)为了解某地高中生的身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高统计成如图所示的茎叶图(单位：cm)1577899916124588991702345566818011247191若身
2、高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用表示所选3人中“高个子”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望4.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC
3、的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值5(2015西安模拟)已知函数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若m1，求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，不等式x2(m2)xf(x)恒成立，求m的取值范围6已知数列an的前n项和Snn(n1)，且an是bn和1的等差中项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若cn(n2)，c1b2，求i；(3)若f(n)(kN*)，是否存在nN*，使f(n11)2f(n)？说明理由答案解答题分层综合练(二)1解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减
4、函数，在区间上是增函数，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.2解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCBa，ABC60，所以四边形ABCD是等腰梯形，且DCADAC30，DCB120，所以ACBDCBDCA90，所以ACBC，又平面ACFE平面ABCD，交线为AC，所以BC平面ACFE.(2)由(1)知AC，BC，CF两两垂直，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，a，0)，A(a，0，0)，D，F(0，0，a)，E(a，0，a)，则(a，0，0)，(a，a，a)，.设平面BEF的法向量n1
5、(x，y，z)，则即取y1，则n1(0，1，1)设平面EFD的法向量n2(p，q，r)，则即取q2，则n2(0，2，1)，则cosn1，n2，即二面角BEFD的余弦值为.3解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有122人，“非高个子”有183人用事件A表示“至少有1名高个子被选中”，则它的对立事件A表示“没有高个子被选中”，则P(A)11.因此，至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意，抽取的30名学生中有12名是“高个子”，所以抽取1名学生是“高个子”的频率为，频率作为概率，那么从所有高中生中抽取1名学生
6、是“高个子”的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验，于是，服从二项分布B，的取值为0，1，2，3.P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C.因此，的分布列如下：0123P所以E()0123.4解：法一：(1)证明：在PCD中，因为E为CD的中点，且PCPD，所以PECD.又因为平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，所以PE平面ABCD.又因为FG平面ABCD，所以PEFG.(2)由(1)知PE平面ABCD，且AD平面ABCD，所以PEAD.又因为四边形ABCD是长方形，所以ADCD.又因为PECD6，所以AD平面PCD，所
7、以ADPD，所以PDE为二面角PADC的平面角因为ABCD6，所以DE3.在RtPED中，PE，所以tanPDE，所求二面角PADC的正切值为.(3)如图，连接AC，在ABC中，因为AF2FB，CG2GB，所以FGAC.由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在RtPDA中，PA5，AC3，PC4，所以cosPAC，所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二：在PCD中，因为E为CD的中点，且PCPD，所以PECD.又因为平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，所以PE平面ABCD.取AB的中点H，连接EH.因为四边形ABCD是长
8、方形，所以EHCD.如图，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，所以E(0，0，0)，P(0，0，)，F(3，1，0)，G(2，3，0)，A(3，3，0)，D(0，3，0)，C(0，3，0)(1)证明：因为(0，0，)，(1，2，0)，且(0，0，)(1，2，0)0，所以，即EPFG.(2)因为PE平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为(0，0，)设平面ADP的一个法向量为n(x1，y1，z1)，(3，3，)，(0，3，)，由于即令z13，则x10，y1，所以n(0，3)由图可知二面角PADC是锐角，
9、设为，则cos |，所以sin ，tan .(3)因为(3，3，)，(1，2，0)，设直线AP与直线FG所成角为，则cos |.所以直线PA与FG所成角的余弦值为.5解：(1)m1时，f(x)(1x)exx2，则f(x)x(2ex)，由f(x)0，得0xln 2，由f(x)0，得x0或xln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)mxx2(m2)x，即mxexx2mx0.因为x0，所以mexxm0.令h(x)mexxm，则h(x)mex1，当m0时，h(x)在x0时为减函数，h(x)h(0)0.当0m1时，h(x)在x0时为减函数，h(x)h(0)
10、0.当m1时，h(x)在(，ln m)上为减函数，在(ln m，0)上为增函数，所以h(ln m)h(0)0，不合题意综上可知m1.6解：(1)因为Snn(n1)，所以a1S10.当n2时，anSnSn1n1，又当n1时，上式也成立，所以ann1，由题意知bn2an1，故bn2n3.(2)因为cn(n2)，c1b22231，所以i112.(3)当n2k1(kN*)时，f(n11)2n19，2f(n)2(n1)，若f(n11)2f(n)，则2n192n2，无解；当n2k(kN*)时，f(n11)n10，2f(n)2(2n3)，若f(n11)2f(n)，则n104n6，无整数解综上可知，不存在nN*，使f(n11)2f(n)
