1、2018-2019学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题。1.设U=R，A=-2，-1，0，1，2，B=x|x1，则AUB=（）A B. 0，C. D. 0，【答案】C【解析】因，所以，故选C2.函数的定义域为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选C3.使函数f（x）=2x-x2有零点的区间是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意先判断函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零点所在的区间【详解】函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，f（0）=10，f（-1）=-10；故f（0）f（-1）0；故
2、选：C【点睛】本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题4.已知x=ln3，y=log50.3，z=e，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】x=ln3lne=1，y=log50.3log51=0，e0=1，yzx故选：D【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知函数f（x）=ln（x+）若实数a，b满足f（a）+f（b-2）=0，则a+b=（）A. B. C. 0D. 2【答案】D【解析】略6.已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（|）f（1）的实数x
3、的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据f（x）为R上的减函数，即可由f（|）f（1）得出|，解该不等式即可【详解】f（x）为R上的减函数；由f（|）f（1）得出|；解得-1x1，且x0；实数x的取值范围为（-1，0）（0，1）故选：A【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法7.已知0a1，函数y=ax与y=loga（-x）的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数y=ax与y=logax互为反函数， y=loga（-x）与y=logax的图象关于y轴对称， 以及函数的单调性即可得出【详解】函
4、数y=ax与y=logax互为反函数，其图象关于直线y=x对称， y=loga（-x）与y=logax的图象关于y轴对称， 又0a1，根据函数的单调性即可得出 故选：D【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题8.已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=5-x-1，则f（log499log57）的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简log499log57，根据f（x）为奇函数即可求出其值.；【详解】log499log57=又x0时，f（x）=5-x-1，且f（x）为奇函数；f（log499log57）=f()=-f()=-=-2故选：
5、B【点睛】本题考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化二、填空题.9.已知m=2，n=3，则3的值是_【答案】【解析】【分析】先利用有理指数幂运算法则化简，再代值【详解】m=2，n=3，则原式=mn-3=23-3=，故答案为：【点睛】本题考查了有理指数幂及根式属基础题10.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).【答案】20【解析】试题分析：设矩形高为，由三角形相似得且，所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为 .考点：基本不等式的应用.【此处有视频，请去附件查看】11.幂函数的图象关于y轴对称，且在
6、（0，+）递减，则整数m=_【答案】1或2【解析】【分析】由幂函数的的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零即可求出参数m 的值【详解】幂函数的的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，m2-3m0，m2-3m是偶数由 m2-3m0得0m3，又由题设m是整数，故m的值可能为1或2验证知m=1，2都能保证m2-3m是偶数故m=1，2即所求故答案为1或2【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向12.设，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】13
7、.函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是_【答案】（5，+）【解析】【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论【详解】由x2-3x-100可得x-2或x5， u=x2-3x-10在（5，+）单调递增，而y=lgu是增函数 由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是（5，+） 故答案为：（5，+）【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题14.已知函数f（x）=，xR，则f（x2-3x）f（3-x）的解集是_【答案】（0，3）【解析】【分析】原函数变成f（x）=，从而可得出f（x）在（-，0
8、）上单调递增，且x0时，f（x）1，从而根据f（x2-3x）f（3-x）可得出，解出x的范围即可【详解】f（x）=；f（x）在（-，0）上单调递增，且x0时，f（x）1；由f（x2-3x）f（3-x）得：；解得0x3；解集为（0，3）故答案为：（0，3）【点睛】本题考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法三解答题,15.已知不等式ax2-5x+b0的解是-3x2，设A=x|bx2-5x+a0，B=x|（1）求a，b的值；（2）求AB和A（UB）【答案】（1）a=-5，b=30 （2），【解析】【分析】（1）据题意可知，-3，2是方程ax2-5x+b=0的两
9、实数根，由韦达定理即可求出a=-5，b=30； （2）根据上面求得的a，b，得出A=x|30x2-5x-50，通过解不等式得出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可【详解】（1）根据题意知，x=-3，2是方程ax2-5x+b=0的两实数根；由韦达定理得，；解得a=-5，b=30；（2）由上面，a=-5，b=30；A=x|30x2-5x-50=，且；，；【点睛】本题考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算16.已知函数f（x）=x+a（aR）（1）当a=4，求函数f（x）在1，5上的值域；（2）设g（x）=xf（x）-2x+1，若1，4是g（x）的
10、一个单调区间且在该区间上g（x）0恒成立，求a的取值范围【答案】（1）f（x）在1，5上的值域为8，（2）实数a的取值范围是（0，+）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性得到函数的最值，根据最值写出值域； （2）结合二次函数的图象列式可得【详解】（1）a=4时，f（x）=x+4，设 ，则 ，x1-x20， ，即 ，则f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），即在 上函数f（x）单调递减，同理可证函数f（x）在单调递增。则当1x2时， f（x）递减；当2x5时， f（x）递增， x=2时，f（x）min=f（2）=8；x=5时，f（x）max=f（5）=，f（x）在
11、1，5上的值域为8，（2）g（x）=x2+（a-2）x+1+a，其对称轴为x=1-，依题意得：或解得：a0所以实数a的取值范围是（0，+）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查二次函数的图像和性质，考查数形结合思想属中档题17.定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y）(1)求f（0）的值；(2)求证f（x）为奇函数；(3)若f（k2x）+f（4x+1-8x-2x）0对任意x-1，2恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）f（0）=0（2）见证明；（3）k1【解析】【分析】（1）赋值法可解决此问题，令x=y=0即可；（2）利用奇偶性的定义可
12、证明，令y=-x可解出；（3）问题转化为k2x+4x+1-8x-2x0对任意x-1，2恒成立，根据恒成立问题转化为最值问题可解决【详解】根据题意得，（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0f（-x）=-f（x）f（x）为奇函数；（3）由题知：f（k2x+4x+1-8x-2x）0=f（0）又y=f（x）是定义在R上的增函数，k2x+4x+1-8x-2x0对任意x-1，2恒成立，k2x2x+8x-4x+1k1+22x-2x+2令2x=t，t，4，则f（t）=1+t2-4tkf（t）max当t=2时，f（t
13、）max=f（2）=1+4-8=-3k-3【点睛】本题考查抽象函数的性质，其中函数的恒成立问题可转化为最值问题来解决18.已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）判断函数y=f（x）-x在R上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）=log4（a2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围【答案】（1）k=- (2)见证明；(3) （1，+）-3【解析】【分析】（1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，运用单调性的定义
14、和对数函数的单调性，即可证明；（3）由题意可得log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a2x-a，即有a=，化为a-1=，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围【详解】（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，即有log4=2kx，可得，即由xR，可得；（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，理由：设x1x2，则h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2=log4（4-x1+1
15、）-log4（4-x2+1），由x1x2，可得-x1-x2，可得log4（4-x1+1）log4（4-x2+1），则h（x1）h（x2），即y=f（x）-x在R上递减；（3）g（x）=log4（a2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，即为log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a2x-a，即有a=，化a-1=，可令t=1+2x（t1），则2x=，则a-1=，由9t+-34（1，）递减，（，+）递增，可得9t+-34的最小值为2-34=-4，当a-1=-4时，即a=-3满足两图象只有一个交点；当t=1时，9t+-34=0，可得a-10时，即a1时，两图象只有一个交点，综上可得a的范围是（1，+）-3【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查对数的运算性质和函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题
