1、内蒙古赤峰二中2021届高三数学上学期第三次月考试题 文一、单选题(共60分)1已知集合，则的子集个数是（ ）A1B2C4D82若复数满足，则（ ）ABCD3算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A8岁B11岁C20岁D35岁4某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）
2、A城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降5已知平面向量的夹角为60，则（ ）A2BCD46已知点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）ABCD7已知等差数列的公差,且成等比数列，则的值为（ ）ABCD8观察下面数阵， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A545B547C549D5519已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，
3、且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD10函数，则（ ）A在上递增B在上递减C在上递减D在上递增11已知函数在上是增函数，设，则下列不等式成立的是（ ）ABCD12定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作给出函数的四个命题：函数的定义域为，值域为；函数是周期函数，最小正周期为；函数在上是增函数；函数的图象关于直线对称.其中所有的正确命题的序号为（）ABCD二、填空题(共20分)13函数的最大值为_.14一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为_.15已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，当角B最大时的面积为_.16已知，若有个根，则的取值范
4、围是_.三、解答题(共80分)17已知数列满足，且数列是以为公比的等比数列（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式为，设，求数列的前项和182020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二二年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按
5、照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相
6、关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；可能用到的数据：； 参考公式：线性回归方程中，.19如图所示，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若点是棱的中点，且，求三棱锥的体积.20已知椭圆：的右焦点为，短轴长等于焦距，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，线段的中点为，是轴上一点，且，求证：线段的中点在轴上21已知函数.（1
7、）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.22在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值.23已知为正数,且,证明:(1)；(2).第三次月考试题文科学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题(共60分)1已知集合，则的子集个数是（ ）A1B2C4D8【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再求出，再求子集的个数，得到答案.【详解】易知，又，所以则的子集个数是故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，并集运算
8、，子集个数问题，属于基础题.2若复数满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法与除法以及复数模的运算即可求解【详解】由.故选：B【点睛】本题主要考査复数模的概念、复数运算等基础知识；考査运算求解能力，属于基础题.3算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A8岁B11岁C20岁D35岁【答案】
9、B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为，则，解得故选B【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解4某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）A城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降【答案】C【解析】【分析】A. 根据条形图判断.B. 根据城乡储蓄构成百分比判断.C. 根据城乡储蓄构成百分比判断.D. 根据
10、城乡储蓄构成百分比判断.【详解】A. 由城乡居民储蓄存款年底余额条形图可知，正确.B.由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升，正确.C. 由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民存款年底总余额，城镇居民存款年底总余额，没有超过，错误.D. 由城乡储蓄构成百分比可知，城镇居民存款年底余额所占的比重从逐年下降，正确.故选：C【点睛】本题主要考查统计图表的应用，还考查数据分析能力以及运算求解能力，属于基础题.5已知平面向量的夹角为60，则（ ）A2BCD4【答案】C【解析】因为，所以.所以. 故选C.6已知点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分
11、析】根据垂直计算，得到直线方程.【详解】圆的标准方程为则圆心为，直线的斜率=，又，所以，所以，故弦MN所在直线的方程为即.故选：C.【点睛】本题考查了圆的中点弦问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.7已知等差数列的公差,且成等比数列，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】因为是等比数列,所以有,利用基本量法求得首项和公差之间的关系,再写出通项公式代入即可求值【详解】等差数列中,因为成等比数列,所以有,即,解得,所以该等差数列的通项为则故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比中项的用法,属基础题型8观察下面数阵， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
12、25 27 29 则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A545B547C549D551【答案】C【解析】【分析】由该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，进而得出前两个每一行的数据，即可得到答案.【详解】由题意，可得该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，当时，可得前8行共255个数，因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的应用，其中解答中认真审题，求得数表中数据的规律，结合等差、等比数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9已知A，B，C是双曲
13、线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】如下图，因为对角线互相平分且，所以四边形为矩形，可得和均为直角三角形，然后利用双曲线的定义和勾股定理，即可构造出齐次等式，进而即可求出该双曲线的离心率.【详解】如图，因为对角线互相平分且，所以四边形为矩形，设，则，又由， 可得，所以，在中，得，所以，又因为在中，即，所以得离心率故选：D【点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系，掌握常用变形技巧，有助于提高解题准确度，属于中档题.10函数，则
14、（ ）A在上递增B在上递减C在上递减D在上递增【答案】C【解析】【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对进行求导，根据导数来研究函数的增减性【详解】，故，故在和单调递增，即在上递减答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质11已知函数在上是增函数，设，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】令，利用在上为减函数可得的大小关系，从而得到正确的选项【详解】令，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，故，即，故，又， ,综上，故选D【点睛】不同底、不同指数的
15、幂比较大小，可根据底、指数的特点构建新函数，利用导数考虑新函数的单调性从而得到幂的大小关系12定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作给出函数的四个命题：函数的定义域为，值域为；函数是周期函数，最小正周期为；函数在上是增函数；函数的图象关于直线对称.其中所有的正确命题的序号为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】中,根据题意易得,故错误; 中,由可知小正周期为1，故正确, 中， 在和上是增函数, 故命题正确, 中, 故命题错误.【详解】中，显然 的定义域为R,由题意知，则得到，故错误；中，由题意知:,所以的最小正周期为1，故正确；中，由于,则得为分段函数，且在上是增函数，故命题正确；中，
16、由题意得， 所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（kZ）不对称，故命题错误；由此可选择，故选B.【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题(共20分)13函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由诱导公式和二倍角余弦公式，化为关于的二次函数，配方结合余弦函数的范围，即可求解.【详解】解：，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数的化简，转化为求含余弦的二次函数的最值，属于基础题.14一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】三视图还原为直观图，将三棱锥补成边长为的长方体，求出长方体的外接球的表
17、面积，即可得出结论.【详解】由三视图得三棱锥直观图如下所示：其中两两互相垂直，将三棱锥补成以为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即为，所以外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，考查多面体与球的切、接问题，解题的关键用割补法将问题转化为熟悉的图形，属于基础题.15已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，当角B最大时的面积为_.【答案】【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，即可求出边长，进而求得三角形的面积.【详解】已知
18、等式利用正弦定理化简得：,由余弦定理，可知当角B最大时，则最小，由基本不等式可得:，当且仅当，即时，取等号.代入可得：，因为，所以，在等腰中，求得底边上的高为,.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.16已知，若有个根，则的取值范围是_.【答案】 【解析】作出的图象，如图，不妨设，根据二次函数的对称性可得，由对数函数的性质可得 ，若有个根，由图可知，从而易知，于是，因为，所以，故答案为.三、解答题(共80分)17已知数列满足，且数列是以为公比的等比数列（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式为，设，求数列的前项和【答案
19、】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是等比数列，可先求其通项公式，再求数列的通项公式（2）利用分组求和法求数列的和，只需先分别求数列、的前项和.【详解】（1），数列是首项为2，公比为2的等比数列，（2）设数列、的前项和分别为、，则，所以数列的前项和为：.【点睛】本题考查了利用定义求数列的通项公式，考查了裂项相消法与分组求和法求数列的和，考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题.182020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二二年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人
20、减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020
21、年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；可能用到的数据：； 参考公式：线性回归方程中，.【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位
22、数5.133千元，平均数5.16千元（2），该家庭2020年能达到小康标准.【解析】【分析】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在6,7)的频率为0.18，即可补全频率分布直方图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数；（2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取，根据题意以及等差数列的相关性质，即可求出2020年该家庭人均年纯收入估计值，与8000判断即可【详解】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在6,7)的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：中位数为：（千元）（或：设中位数为，则，解得：）平均数（千元）（2）解：由题意得：， 所以：所以回归直线方程为：设为202
23、0年该家庭人均月纯收入，则时，即2020年前三月总收入为：元；当时，即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,984，构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为所以2020年该家庭总收入为：，所以该家庭2020年能达到小康标准.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，求中位数和平均数，线性回归方程和线性回归方程的应用，考查运算能力和处理问题的能力，属于中档题19如图所示，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若点是棱的中点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，再由面面垂直
24、的判定定理证明平面平面；（2）由线面垂直的判定定理证明平面，由中位线定理以及平行的传递性得出，进而得出点到平面的距离，再由棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）证明：因为，所以.又因为平面平面，平面平面所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知.又，平面平面设的中点为，连接.则且，又且，所以.所以点到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离等于点到平面的距离的，所以点到平面的距离.故.【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及棱锥体积的计算，属于中档题.20已知椭圆：的右焦点为，短轴长等于焦距，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，线段的中点为，是
25、轴上一点，且，求证：线段的中点在轴上【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得； ，从而得椭圆的方程（2）设直线的方程为，直线与椭圆的方程联立得，由题意，得，且，表示点设，根据直线的垂直关系得可得证【详解】解：（1）由椭圆经过点，得；由短轴长等于焦距，得，则，所以故椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得，由题意，得，且，则，即设，由，得，解得所以，所以，故线段的中点在轴上【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区
26、间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到，再根据导数的正负判断单调性得到答案.（2）整理得到，取，求导得到单调区间，计算函数的最大值得到答案.【详解】（1）依题意，当时，单调递减；当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，恒成立，即，即，即恒成立，即.令，则，易知在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间，不等式恒成立问题求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离得到是解题的关键.22在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，
27、建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得的最大值.【详解】（1）圆C的极坐标方程为：，则由极坐标与直角坐标的转化公式得，所以：.（2）将线l的参数方程为：（t为参数），代入.所以设点A，B所对应的参数为和，则，则当时，的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23已知为正数,且,证明:(1)；(2).【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）将a+b+c2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c2平方得:，由基本不等式知:，三式相加得:，则所以，当且仅当abc时等号成立(2)由，同理则，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.
