1、2016-2017学年广东省汕头市潮阳区黄图盛中学高三（上）第三次质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项）1已知集合A=1，3， ，B=1，m，AB=A，则m的值为（）A0或B0或3C1或D1或32若复数z满足zi=1i，则在复平面内，z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x5BxR，2x5CxR，2x5DxR，2x54在等差数列an中，a1=3，a10=3a3，则an的前12项和S12=（）A120B132C144D1685下列函数中，既是
2、奇函数，又在0，1上是增函数的是（）Ay=|x|By=x2+1Cy=x3Dy=sinx（x0，）6执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D57在ABC中，若tanA=，AB=5，BC=2，则C=（）ABC或D或8O为坐标原点，F为抛物线C：y=x2的焦点，P为C上一点，若|PF|=3，则POF的面积为（）ABC2D19已知三角形ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上，ABBC，AB=6，BC=8，棱锥OABC的体积为40，则球的表面积为（）A250B200C100D5010若等边ABC的边长为2，M是BC上的第一个三等分点，则=（）ABC或D或11某几何体的三视图如图所示，若该几
3、何体的表面积为16+2，则r=（）A1B2C4D812已知函数f（x）=，若|f（x）|ax1恒成立，则a的取值范围是（）A2，0B2，1C4，0D4，1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.不要求写出解题步骤，只要求将题目的答案写在答题卷的相应位置上）13某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若在身高160，170），170，180），180，190三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在160，170）内的学生中选取的人数应为14已知函数f（x）=，则的值是15已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y
4、的最大值为16已知cos（）=，sin（+）=，（，），（，），则sin（+）=三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn18（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（
5、2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为矩形，F是BC的中点，且PA=BC=2AB=2（1）求证：CDPA（2）线段PA是否存在一点E，使得EF平面PCD？若有，请找出具体位置，并加以证明，若无，请分析说明理由20（12分）已知椭圆E： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线交椭圆E于A、B两点，且三角形ABF1的周长为8（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在直线l1：y=x+m与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M
6、与F2的直线l2垂直于直线l1？若有，求出m的值，若无，请分析说明理由21（12分）已知函数f（x）=x3ax+1（1）当a=1时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在0，1上的最小值为，求a的值选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l的参数方程是，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2=2sin，（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）直线l与曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的长2016-2017学年广东省汕头市潮阳区黄图盛中学高三（上）第三次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大
7、题共12小题.每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项）1已知集合A=1，3， ，B=1，m，AB=A，则m的值为（）A0或B0或3C1或D1或3【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由题设条件中本题可先由条件AB=A得出BA，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项【解答】解：由题意AB=A，即BA，又，B=1，m，m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件AB=A转化为BA，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值2
8、若复数z满足zi=1i，则在复平面内，z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z满足zi=1i，iiz=i（1i），化为z=1+iz在复平面内所对应的点的坐标是（1，1），在第二象限，故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x5BxR，2x5CxR，2x5DxR，2x5【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：xR，2x=5
9、，则p为xR，2x5故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4在等差数列an中，a1=3，a10=3a3，则an的前12项和S12=（）A120B132C144D168【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出an的前12项和S12【解答】解：在等差数列an中，a1=3，a10=3a3，3+9d=3（3+2d），解得d=2，an的前12项和S12=12=168故选：D【点评】本题考查an的前12项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5下列函数中，既是奇函数，又在0，1上是增函数的是（）Ay=|x|B
10、y=x2+1Cy=x3Dy=sinx（x0，）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可【解答】解：对于A：y=|x|是偶函数，不合题意；对于B：y=x2+1是非奇非偶函数，不合题意，对于C：y=x3是奇函数在0，1递增，符合题意，对于D：y=sinx，x0，）是非奇非偶函数，不合题意，故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题6执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S1，退出循环，输出i的
11、值为4【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题7在ABC中，若tanA=，AB=5，BC=2，则C=（）ABC或D或【考点】正弦定理【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理可求sinC的值，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值【解答】解：tanA=0
12、，可得A为锐角，可得：cosA=，sinA=，AB=5，BC=2，由正弦定理可得：sinC=，C=或故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题8O为坐标原点，F为抛物线C：y=x2的焦点，P为C上一点，若|PF|=3，则POF的面积为（）ABC2D1【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=4，求得P点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算即可得到【解答】解：由抛物线方程得准线方程为：y=1，焦点F（0，1），又P为C上一点，|PF|=3，
13、可得yP=2，代入抛物线方程得：|xP|=2，SPOF=|OF|xP|=故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键9已知三角形ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上，ABBC，AB=6，BC=8，棱锥OABC的体积为40，则球的表面积为（）A250B200C100D50【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】确定斜边AC的中点O就是ABC的外接圆的圆心，利用三棱锥OABC的体积，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：ABC中ABBC，AB=6，BC=8，由勾股定理可知斜边AC的中点O就是ABC的外接圆
14、的圆心，三棱锥OABC的体积为40，=40，OO=5R=5，球O的表面积为4R2=200故选B【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力10若等边ABC的边长为2，M是BC上的第一个三等分点，则=（）ABC或D或【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可【解答】解：M是BC上的第一个三等分点，则=（+）=（+）=2222cos60=，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于基础题11某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为16+2，则r=（）A1B2C4D8【考点】由三
15、视图求面积、体积【分析】判断几何体的结构，利用面积公式求解即可【解答】解：根据三视图分析出：该几何体圆柱，底面为半圆，与半个球的组合体，该几何体的表面积为：2r2r+r2+2r2+=16+20，r=2故选：B【点评】本题考查了空间思维能力，空间几何体的面积的计算公式，要求准确计算12已知函数f（x）=，若|f（x）|ax1恒成立，则a的取值范围是（）A2，0B2，1C4，0D4，1【考点】函数恒成立问题【分析】分x的范围进行讨论，当x0时，|f（x）|恒大于0，只要a0不等式|f（x）|ax1恒成立；x=0时对于任意实数a不等式|f（x）|ax1恒成立；x0时，把不等式|f（x）|ax1取绝对
16、值整理后分离参数a，然后利用基本不等式求解a的范围，最后取交集即可得到答案【解答】解：当x0时，ln（x+1）0恒成立 则此时a0当x0时，x2+2x的取值为（，0，|f（x）|=x22x x22xax1（x0）x=0时，左边右边，a取任意值都成立x0时，有ax+2 即a4 综上，a的取值为4，0故选C【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了参数分离法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中高档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.不要求写出解题步骤，只要求将题目的答案写在答题卷的相应位置上）13某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据
17、绘制成频率分布直方图（如图），若在身高160，170），170，180），180，190三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在160，170）内的学生中选取的人数应为15【考点】频率分布直方图【分析】由已知中的频率分布直方图，根据各组矩形高之和组距=1，结合已知中频率分布直方图的组距为10，我们易求出身高在160，170），170，180），180，190三组内学生的频率，根据分屋抽样中样本比例和总体比例一致的原则，我们易求出从身高在160，170）内的学生中选取的人数【解答】解：由已知中频率分布直方图的组距为10，身高在160，170），170，180），180，
18、190的矩形高为（0.10.005+0.035+0.020+0.010）=0.030，0.020，0.010故身高在160，170），170，180），180，190的频率为0.30，0.20，0.10故分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在160，170）内的学生中选取的人数应为30=15故答案为：15【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，分层抽样，另本题中分层抽样保持比例，也是本题的突破口之一14已知函数f（x）=，则的值是【考点】函数的值【分析】由函数解析式，我们可以先计算f（）的值，然后将其值代入函数解析式，由此可以得到所求值【解答】解：由于函数f（x）=，则，故答案为：
19、【点评】本题考查的分段函数的函数值，属于基础题15已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为11【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，则由图象可知当直线y=3x+z经过点A时直线y=3x+z的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，2），此时z=33+2=11，故答案为：11【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键16已知cos（）=，sin（+）=，（，），（，），则sin（+）=【考点】两
20、角和与差的正弦函数【分析】根据、的取值范围求得、+的取值范围，从而确定sin（），cos（+）的值，然后将其代入，sin（+）=sin（+）（）的展开式中进行求值【解答】解：（，），（，），（，0），+（0，），cos（）=，sin（+）=，sin（）=，cos（+）=，sin（+）=sin（+）（）=sin（+）cos（）cos（+）sin（）=（）=故答案是：【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数解题过程中，要注意角与角间的数量转换关系三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）（2015浙江）已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an
21、+1=2an（nN*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和【分析】（）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列an为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；再由b1=1，b1+b2+b3+bn=bn+11，取n=1求得b2=2，当n2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列为常数列，由此可得bn的通项公式；（）求出，然后利用错位相减法求数列anbn的前n项和为Tn【解答】解：（）由a1=2，an+1=2an，得由题意知，当n=1时，b1=b21，故b2=2，当n2时，b1+b2+b3+=bn1
22、，和原递推式作差得，整理得：，；（）由（）知，因此，两式作差得：，（nN*）【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题18（12分）（2015绥化校级二模）某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率【考点】极差
23、、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，.（2分）甲班的方差= （67）2+（57）2+（77）2+（97）2+（87）2=2，.乙班的方差= （47）2+（87）2+（97）2+（77）2+（77）2=，.因为，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定（）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4
24、，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为=a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；.（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A=a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5，A由10个基本事件组成，.（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=（12分）【点评】本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键19（12分）（201
25、6秋潮阳区校级月考）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为矩形，F是BC的中点，且PA=BC=2AB=2（1）求证：CDPA（2）线段PA是否存在一点E，使得EF平面PCD？若有，请找出具体位置，并加以证明，若无，请分析说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）根据PA底面ABCD可以推知CDPA；（2）当E是PA的中点时，EF平面PCD如图，取PD的中点G，连接EG、CG，构建平行四边形EFCG，结合平行四边形的对边相互平行的性质和线面平行的性质证得结论EF平面PCD【解答】证明：（1）又因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以CDPA
26、；解：（2）当E是PA的中点时，EF平面PCD，取PD的中点G，连接EG、CG，又因为E、F分别是PA、BC的中点，底面ABCD为矩形，所以EGADFC且EGADFC，所以四边形EFCG是平行四边形，所以EFGC又因为EF平面PCD，GC平面PCD，所以EF平面PCD【点评】本题以底面为长方形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为载体，通过证明线面平行、垂直，着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题20（12分）（2016秋潮阳区校级月考）已知椭圆E： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线交椭圆E于A、B两点，且三角形ABF1的周长为8（1）求
27、椭圆E的方程；（2）是否存在直线l1：y=x+m与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直线l1？若有，求出m的值，若无，请分析说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由已知结合椭圆定义求得a，再由离心率求得c，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设C（x1，y1）、D（x2，y2）、M（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M的坐标，再由两直线斜率的关系求得m值，由所求m值不满足判别式大于0，可得不存在直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直
28、线l1【解答】解：（1）依题意得：，得a= 又e=，解得c=2，b2=a2c2=4椭圆E的方程为；（2）设C（x1，y1）、D（x2，y2）、M（x0，y0），联立，消去y得3x2+4mx+2m28=0，M（）直线l2垂直于直线l1，得m=6又直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，=968m20，解得2m2m=6（，2），不存在直线l1与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F2的直线l2垂直于直线l1【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查直线垂直与斜率的关系，是中档题21（12分）（2016秋潮阳区校级月考）已知函数f（x）=x3ax+1（1）当
29、a=1时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在0，1上的最小值为，求a的值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求f（x）在x=0处的切线方程；（2）分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）在0，1上的最小值为，即可求a的值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x3x+1，f（x）=x21 （1分）f（0）=1 （2分）f（0）=1 所以切线的方程为y1=（x0），即 y=x+1 （2）f（x）=x2a 当a0时，f（x）0对x（0，1）成立，所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f
30、（0）=1 因为1，所以a0不成立 （7分）当a0时，令f（x）=x2a=0，x1=，x2=，当0a1时，1，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减，x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增所以f（x）在x=处取得最小值f（）=1=，当a1时，1，x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=a 令a=，解得a=（舍去） 综上【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查导数的几何意义、单调性，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2016秋潮阳区校级月考）已知直线l的参数方程是，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴
31、的正半轴为极轴，建立平面直角坐极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2=2sin，（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）直线l与曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的长【考点】直线与抛物线的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程为cos2=2sin，即2cos2=2sin，进而可得曲线C普通方程；根据直线l的参数方程，利用代入消元法，可得直线l的普通方程；（2）直线l与曲线C分别交于A，B两点，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理和弦长公式，可得|AB|的长【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为cos2=2sin，即2cos2=2sin，故曲线C的普通方程为x2=2y，直线l的参数方程是，（t是参数），消参得：直线l的普通方程为y=x+1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x22x2=0，由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=2，（8分）由弦长公式得|AB|=|x1x2|=2 （10分）【点评】本题考查的知识点是直线与抛物线的位置关系，极坐标，参数方程与普通方程的互化，难度中档
