1、6.3平面向量线性运算的应用必备知识基础练进阶训练第一层知识点一向量在平面几何中的应用1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)2在ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B.C3 D.3若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形4如下图所示，ABC的顶点A，B，C分别对应向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g(x0，y0)求证：x
2、0，y0.知识点二向量在物理中的应用5.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.6已知三个力F1(2，1)，F2(3,2)，F3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于()A(1，2) B(1，2)C(1,2) D(1,2)7一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，则水流速度的大小为_ km/h.8三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设a，b，c，判断ABC的形状关键能力综合练进阶训练第二层一、选
3、择题1在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是()A平行四边形 B梯形C矩形 D菱形2当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为|F|，若|F|G|，则的值为()A30 B60C90 D1203在ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B.C. D.4坐标平面内一只小蚂蚁以速度v(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A2 B3C4 D85O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心)若，则BAC等于()A30 B45C60 D906(易错题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则
4、点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心二、填空题7已知P为ABC所在平面内一点，且满足，则APB的面积与APC的面积之比为_8设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|4，|，则|_.9(探究题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_(写出正确的所有序号)绳子的拉力不断增大；绳子的拉力不断变小；船的浮力不断变小；船的浮力保持不变三、解答题10已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： ()学科素养升级练进阶训练第三层1(多选题)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2
5、ab，则下列结论正确的是()A|b|1 B|a|1Cab D(4ab)2一只鹰正以与水平方向成30角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为_m/s.3(学科素养数学建模)在ABC中，已知ABAC5，BC6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PCBM?63平面向量线性运算的应用必备知识基础练1解析：设D(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2得顶点D的坐标为.答案：A2解析：BC的中点为D，|.答案：B3解析：因为|，|2|，所以|，则0，所以BAC90，即ABC是直角三角形故选B
6、.答案：B4证明：设AC的中点为D，且点D对应的向量为q(x4，y4)，则x4，y4.由平面几何的知识，得2，x0，y0.5解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量答案：B6解析：物体平衡，F1F2F3F40，F4F1F2F3(2，1)(3,2)(4，3)(1,2)故选D.答案：D7解析：如右图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船的实际航行速度在RtABC中，|2，|4，|2.答案：28解析：由题意得|a|b|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即abc0.所以acb.如图，作平行四边形APCD，则其
7、为菱形因为acb，所以APC120.同理，APBBPC120.又因为|a|b|c|，所以ABC为等边三角形关键能力综合练1解析：由，可知ADBC，且|，故四边形ABCD是梯形答案：B2解析：作F1，F2，G(图略)，则，当|F1|F2|G|时，OAC为正三角形，所以AOC60，从而AOB120.答案：D3解析：由，得0，即2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示故.答案：C4解析：|v|，|，时间t3.答案：B5解析：取BC的中点D，连接AD，则2.由题意得32，AD为BC的中线且O为重心又O为外心，ABC为正三角形，BAC60，故选C.答案：C6解析：因为是向量方向上的单位向量，设与方向上
8、的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，由菱形的基本性质可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC.故选B.答案：B7.解析：由题意，得52，得222，得2()，如图所示，以PA，PB为邻边作PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则24.所以.答案：1:28解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知， ，|，|，又|4，M是线段BC的中点，|2.答案：29解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为.则|F|cos |f|，|F|.增大，cos 减小，|F|增大设船的浮力为F浮，则|F浮|F|sin |mg|，
9、|F|sin 增大，船的浮力减小答案：10证明：证法一：如图1，首先建立直角坐标系设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有(x2x1，y2y1)，(x3x4，y3y4)().又E，F分别是AD，BC的中点，E，F，()证法二：如图2，向量相加得，2，()学科素养升级练1解析：如图，由题意，(2ab)2ab，则|b|2，故A错误；|2a|2|a|2，所以|a|1，故B正确；因为2a，b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则2，且，而22a(2ab)4ab，所以(4ab)，故D正确故选B、D.答案：BD2解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30角向下，故|v1|(m/s)答案：3解析：以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系由于ABAC5，BC6，所以B(0,0)，A(3, 4)，C(6,0)则(3，4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点所以，于是M，所以，假设在BM上存在点P使得PCBM，则设，且01，即，所以(6,0).由于PCBM，所以(46)40，(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PCBM.
