1、本章复习提升易混易错练易错点1对圆心位置考虑不全致错1.()已知某圆圆心C在x轴上,半径长为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为()A.(x+3)2+y2=25B.x2+(y3)2=25C.(x3)2+y2=5D.(x3)2+y2=252.()求半径长为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.易错点2在圆与方程有关问题中,忽视隐含条件而致错3.(2020山东临沂高二上期末,)过点P(-1,1)作圆C:x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,则a的取值范围是.4.()若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于423,求实数t的取
2、值范围.易错点3直线与圆的位置关系中,忽视直线的斜率不存在而致错5.(2021河南郑州高一上期末,)已知圆E同时满足下面三个条件:过点(2,0),与直线x+y=2相切,圆心在直线2x+y=1上.(1)求圆E的方程;(2)已知直线l经过点(0,1),并且被圆E截得的弦长为2,求直线l的方程.易错点4在圆与方程有关问题中,因不等价变形而出错6.(2021湖北十堰高二上期末,)若函数y=-4-(x-1)2的图象与直线x-2y+m=0有公共点,则实数m的取值范围为()A.-25-1,-25+1B.-25-1,1C.-25+1,-1D.-3,17.(2021天津高二上期末,)已知曲线y=1+4-x2与直
3、线l:y=k(x-2)+4有两个交点,求实数k的取值范围.思想方法练一、数形结合思想在圆与方程中的应用1.()设点P是函数y=-4-(x-1)2图象上的任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为.2.()若直线y=x+b与曲线y=4-x2有公共点,试求b的取值范围.二、分类讨论思想在圆与方程中的应用3.(2020重庆育才中学高一下期末,)若圆C1:(x-1)2+(y+3)2=1与圆C2:(x-a)2+y2=1没有公共点,则实数a的取值范围是.4.(2021辽宁丹东高三上期末联考,)经过点P(4,5),且与圆(x-2)2+y2=4相切的直线方程为.三、函数与方程思想在圆
4、与方程中的应用5.(2020浙江杭州高二上期末,)已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点,试求半径长取最小值时圆P的方程.6.(2020江西赣州高二上期末,)已知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线l:x+y-2=0是圆E与圆C的公共弦AB所在的直线方程,且圆E的圆心在直线y=2x上.(1)求公共弦AB的长度;(2)求圆E的方程;(3)过点Q(-2,0)分别作直线MN,RS,交圆E于M,N,R,S四点,且MNRS,求四边形MRNS
5、面积的最大值与最小值.四、转化与化归思想在圆与方程中的应用7.(2020安徽黄山高二上期末,)若实数x,y满足x2+y2-2x-10y+25=0,则|3x+y-3|的最大值、最小值分别为()A.5,1B.5,0C.7,1D.7,38.(2020山东菏泽高二上期末,)实数x、y满足x2+y2+2x-4y+1=0.(1)求yx-4的最大值和最小值;(2)求x2+y2-2x+1的最大值和最小值;(3)求y-2x的最大值和最小值.本章复习提升易混易错练1.D由题意知|AC|=5,|AB|=8,所以|AO|=4,在RtAOC中,|OC|=|AC|2-|AO|2=52-42=3.如图所示,有两种情况:故圆
6、心C的坐标为(3,0)或(-3,0),故所求圆的标准方程为(x3)2+y2=25.2.解析因为圆与直线y=0相切且半径长为4,所以设圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4),又易知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心坐标为A(2,1),半径长为3.若两圆相切,则|CA|=3+4=7或|CA|=4-3=1.当C的坐标为(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12,所以a=2210.此时所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16.当C的坐标为(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(
7、-4-1)2=12,所以a=226.此时所求圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.综上,所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.易错警示解决直线与圆、圆与圆的问题,一定要认真读题,理顺题意,对于试题本身需要分类讨论的,如距离中的正、负问题,两圆相切时包含内切和外切两种情况,做题时都要一一讨论.3.答案(1,2)解析将圆C:x2+y2-ax-2y+a2-2=0化为x-a22+(y-1)2=3-3a24,圆心为
8、Ca2,1,3-3a240,过点P(-1,1)作圆C:x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,点P(-1,1)在圆C外,点P到圆心C的距离大于圆的半径,即-1-a22+(1-1)23-3a24,解可得-2a1或a-2.所以a的取值范围是1a2.陷阱分析有关圆的问题,试题本身含有很多隐含条件,关键就是充分挖掘出内涵约束条件,如本题就有两个陷阱,一是要关注二元二次方程表示圆的条件,二是理解过某点能够作圆的两条切线的条件:点在圆外.4.解析设圆的半径为r,直线被圆截得的弦长为l.圆心(0,0)到直线y=x+t的距离d=|t|2.由题意得dr=22,所以-4t4.又l22+d2=r2=8,则
9、l2=32-2t24232,所以t-823或t823.综上,-4t-823或823t4.易错警示解决与圆有关的问题时注意不要忽略隐藏的位置关系,如相交弦问题中,要在直线与圆有交点的情况下考查其他相关问题;圆与圆只有一个交点时,要考虑是内切还是外切等.5.解析(1)设圆心为E(a,1-2a),则(a-2)2+(1-2a)2=|-a-1|2,化简,得a2-2a+1=0,解得a1=a2=1.E(1,-1),半径长r=(1-2)2+(-1)2=2.圆E的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.当直线l的斜率存在
10、时,设直线l的方程为kx-y+1=0,由题意得|k+2|1+k2=(2)2-12,解得k=-34,直线l的方程为3x+4y-4=0.综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y-4=0.易错警示用点斜式表示直线方程时,要注意斜率的存在与否,对于直线斜率不存在的情况,可以作为特殊情况先进行讨论,然后讨论一般情况.6.B如图,函数y=-4-(x-1)2可化简为(x-1)2+y2=4(y0),表示的是以(1,0)为圆心,2为半径长的圆的下半部分,根据题意作出图象,如图,一个临界是直线和半圆相切,即圆心到直线的距离等于半径,|1+m|5=2,解得m=-25-1,正值舍去;另一个临界是直线过点(-1,0)
11、,此时m=1.故实数m的取值范围为-25-1,1.故选B.7.解析由y=k(x-2)+4知直线l过定点(2,4),y=1+4-x2可化简为x2+(y-1)2=4(y1),表示的是以(0,1)为圆心,2为半径长,且位于直线y=1上方的半圆.当直线l过点(-2,1)时,直线l与曲线有两个不同的交点,此时1=k(-2-2)+4,解得k=34,当直线l与曲线相切时,直线l与曲线有一个交点,圆心(0,1)到直线kx-y+4-2k=0的距离d=|3-2k|1+k2=2,解得k=512,要使直线l与曲线有两个交点,则直线l夹在两条直线之间,因此5122,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离
12、,因此|PQ|的最小值是5-2.2.解析如图,在平面直角坐标系内作出曲线y=4-x2(半圆).当直线y=x+b与半圆y=4-x2相切时,有|b|2=2,所以b=22(负值舍去).当直线y=x+b过点(2,0)时,b=-2.所以直线l1:y=x-2,直线l2:y=x+22.当直线y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,其与曲线y=4-x2有公共点,所以b的取值范围为-2,22.思想方法数形结合思想主要是通过平面直角坐标系与几何图形相结合,使得几何图形上的每个点与直角坐标系里的坐标(有序实数对)一一对应,实现数和形的互化.数形结合思想在圆与方程中常体现在求最值与取值范围的问题中.3.答案
13、a2解析由圆C1:(x-1)2+(y+3)2=1可知圆心C1(1,-3),半径长r1=1,由圆C2:(x-a)2+y2=1可得圆心C2(a,0),半径长r2=1,因为两圆无公共点,所以两圆外离或内含,分类讨论求解.当两圆外离时,|C1C2|r1+r2=2,即(1-a)2+(-3-0)22,解得a2;当两圆内含时,|C1C2|r1-r2|=0,无解.综上所述,a2.4.答案x=4或21x-20y+16=0解析因为(4-2)2+52=294,所以点P在圆(x-2)2+y2=4外.解法一:若直线的斜率不存在,则直线的方程为x=4,显然满足题意.若直线的斜率存在,依题意,设直线的方程为y-5=k(x-
14、4),即kx-y+5-4k=0.又圆心为(2,0),半径长r=2,且圆心到切线的距离等于半径长,所以|2k-0+5-4k|k2+1=2,解得k=2120,所以直线的方程为21x-20y+16=0.综上可知,满足题意的直线的方程为21x-20y+16=0或x=4.用点斜式表示直线方程时,要注意斜率是否存在,对于不知道直线斜率存在与否的情况,可以对特殊情况先进行讨论,再讨论一般情况.解法二:设所求切线方程为(x0-2)(x-2)+y0y=4,其中(x0,y0)是圆上的切点,将点(4,5)代入后,得2(x0-2)+5y0=4.由2(x0-2)+5y0=4,(x0-2)2+y02=4,解得x0=4,y
15、0=0或x0=1629,y0=4029.故所求切线方程为x=4或21x-20y+16=0.思想方法在圆与方程中常见的分类讨论问题有以下几种:1.由概念引起的分类讨论;2.由限制条件(如直线的斜率)引起的分类讨论;3.由图形的不确定性(如直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系)引起的分类讨论;4.由参数的变化引起的分类讨论.5.解析(1)连接OP,OQ.Q为切点,PQOQ,|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.又|PQ|=|PA|,故|PA|2=|PO|2-1,即(a-2)2+(b-1)2=a2+b2-1,整理得2a+b-3=0.(2)设圆P的半径长为R.圆P与圆O有公共点,且半径最小,|OP|=a
16、2+b2=a2+(-2a+3)2=5(a-65)2+95,根据题意,利用第(1)问的结论,将|OP|表示为关于a的一元二次函数,利用函数的图象及性质解决问题.故当a=65时,|OP|取得最小值355.此时,b=-2a+3=35,R取得最小值355-1.所以当半径长取最小值时,圆P的方程为x-652+y-352=355-12.6.解析(1)把圆C的方程化为标准方程,得(x-3)2+(y-3)2=15,所以圆心为C(3,3),半径长为15,圆心C到直线l:x+y-2=0的距离为|3+3-2|2=22,则公共弦AB的长度为215-8=27.(2)由圆E的圆心在直线y=2x上,设圆心E(a,2a),由
17、题意,CEl,2a-3a-3=1,解得a=0,即E(0,0),又点E到直线l的距离为|0+0-2|2=2,圆E的半径长为(2)2+(7)2=3.圆E的方程为x2+y2=9.(3)假设点E到直线MN的距离为m,到直线RS的距离为n,则S=12|MN|RS|=29-m29-n2,MNRS,m2+n2=4,S=29-m29-n2=29-m25+m2=2-(m2-2)2+49(0m24).将问题转化为四边形MRNS的面积与某一变量的函数关系,然后利用函数的图象及性质解决问题.S65,14,四边形MRNS面积的最大值为14,最小值为65.思想方法函数与方程思想在圆与方程中的应用主要体现在直线与圆位置关系
18、的相关问题中,一般涉及求最值或取值范围等.7.D方程x2+y2-2x-10y+25=0化为(x-1)2+(y-5)2=1,表示圆心为(1,5),半径长为1的圆,|3x+y-3|为圆上一点到直线3x+y-3=0的距离的2倍,利用点到直线的距离公式将|3x+y-3|表示为圆上一点到直线3x+y-3=0的距离的2倍,从而使问题得到简化.点(1,5)到直线3x+y-3=0的距离为|3+5-3|2=52,则|3x+y-3|的最大值、最小值分别为252+1=7和252-1=3.故选D.8.解析方程x2+y2+2x-4y+1=0可化为(x+1)2+(y-2)2=4.此方程表示以(-1,2)为圆心,2为半径长
19、的圆.(1)yx-4表示圆上的点(x,y)与定点(4,0)连线的斜率,形如k=y1-y2x1-x2的代数式,可以转化为两点连线的斜率问题.所以令yx-4=k,即y=k(x-4).当直线y=k(x-4)与圆相切时,yx-4取最值,所以|-k-2-4k|k2+1=2,解得k=0或k=-2021.因此yx-4的最小值为-2021,最大值为0.(2)x2+y2-2x+1=(x-1)2+(y-0)2,它表示圆上的点(x,y)与定点(1,0)的距离.而定点(1,0)与圆心(-1,2)的距离d=(-1-1)2+22=22.形如(a-b)2+(c-d)2的代数式,可以转化为两点间的距离公式.所以x2+y2-2x+1的最大值为d+2=22+2,最小值为d-2=22-2.(3)设y-2x=b,即y=2x+b.形如y=ax+b,可以转化为纵截距b的最值问题.当y=2x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,所以|-2+b-2|5=2,解得b=425.因此y-2x的最大值为4+25,最小值为4-25.思想方法转化与化归思想在解析几何中常表现为:一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形,特殊结构的代数式、函数、方程等问题,充分发掘其相关几何意义.
