1、第三章指数函数和对数函数本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=3x21-x+lg(3x+1)的定义域为()A.-13,1B.-13,1C.-13,1D.-13,12.函数f(x)=(3)x在区间1,2上的最大值是()A.33B.3C.3D.233.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,第一、二、三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=110(x2+2x)
2、C.y=2x10D.y=0.2+log16x4.已知函数y=xa(aR)的图像如图所示,则函数y=a-x与y=logax在同一平面直角坐标系中的图像是()5.若mn,则()A.0.2mlog0.3nC.2mn26.设a=1.21.7,b=0.31.2,c=log1.20.5,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.cabD.bac7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为()A.-2B.-12C.12D.28.已知函数f(x)=lg(1+4x2-2x)+12,则f(lg2)+flg12=()A.-1B.0C.1D.29.当0a-log
3、1ax的解集是()A.(0,+)B.(0,2)C.(2,4)D.(0,4)10.函数y=3x-3-x3x+3-x的图像大致为()11.已知x=12(51n-5-1n),nN+,则(x+1+x2)n的值为()A.3B.4C.72D.512.若函数f(x)=-2x+7,x1,2+loga(x+1),x1(a0且a1)的值域是5,+),则实数a的取值范围是()A.(1,2B.(1,32C.32,+)D.(0,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知f(2x)=2x2-1,则f(1)=.14.使不等式2x2x成立的x的取值范围为.15.如图所示,已知函数
4、y=log2(4x)图像上的两点A,B和函数y=log2x图像上的点C,线段AC平行于y轴,当ABC为正三角形时,点B的横坐标为.16.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知:在室温25下,某种绿茶用85的水泡制,经过xmin后茶水的温度为y,且y=k0.9085x+25(x0,kR).当茶水温度降至55时饮用口感最佳,此时茶水泡制时间大约为min.(结果保留整数,参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln0.9085-0.0960)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)化简求值:(1)l
5、g2-lg14+3lg5-log32log49;(2)0.027-13-16-2+2560.75+13-10.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=12x-3,x0,x,x0,不等式f(x)0且a1,b0且b1)的图像经过点A(1,6),B-1,34.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若ab,函数g(x)=1ax-1bx+2,求函数g(x)在-1,2上的值域.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中a0且a1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)有最小值而无最大值,求f(x)的单调递增区间.21.(本小题满分12分)已知函数f
6、(x)=(lgx)2-2alg(10x)+3,x1100,10.(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的最小值记为m(a),求m(a)的最大值.22.(本小题满分12分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,都有-Mf(x)M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a2x-2.(1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+)上是不是有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在(-,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围.答案全解全析第三章指数函数和对数
7、函数本章达标检测1.C2.C3.C4.C5.A6.B7.B8.C9.C10.C11.D12.B一、选择题1.C由题意可得1-x0,3x+10,解得-13x1,故选C.易错提醒本题要特别注意以下几点:(1)分母不为0;(2)被开方数不能为负数;(3)对数式的真数大于0.2.C由函数f(x)=(3)x 在R上递增知,f(x)在1,2上的最大值为f(2)=(3)2=3,故选C.3.C将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算,可知选C.4.C由题中y=xa的图像知,0an,则0.2mn0,则log0.3mn,则2m2n,C不正确;当m=1,n=-1时,满足mn,但m2n2不成立,D不
8、正确.故选A.6.Ba=1.21.71.20=1,b=0.31.2(0,1),c=log1.20.5log1.21=0,所以cb0,且f(x)是奇函数,f(log94)=-f(-log32),又xlogax,又0a0,4-x0,4-xx,解得2x0得(3x)2+11,02(3x)2+12,从而-2-2(3x)2+10,因此-13x-3-x3x+3-x1时,f(x)5,+),所以2+loga(x+1)5,即loga(x+1)3;若a1,则有x+1a3恒成立,所以a32,即1a32;若0a1,则有x+1a3恒成立,此时无解.故选B.二、填空题13.答案-1解析令2x=1,得x=0,因此f(1)=f
9、(20)=202-1=-1,故填-1.14.答案(-,0)(1,+)解析分别画出y=2x与y=2x的图像,如图所示:由图像可得,x的取值范围为(-,0)(1,+).15.答案3解析依题意,ACy轴,所以AC=log2(4x)-log2x=2,又因为ABC为正三角形,所以点B到线段AC所在直线的距离为322=3.设点B(x0,2+log2x0),则点A(x0+3,3+log2x0).由点A在函数y=log2(4x)的图像上,得log24(x0+3)=3+log2x0,即4(x0+3)=8x0,解得x0=3,所以点B的横坐标为3.16.答案7信息提取y=k0.9085x+25(x0,kR);当x=
10、0时,y=85.数学建模本题以中国传统文化泡茶为背景,构建指数函数模型,通过指数与对数的关系解方程求解.本题求解时先根据已知条件求得k,从而得到函数y的解析式,然后列方程求得此时茶水泡制时间.解析由题意可知,当x=0时,y=85,即85=k+25,解得k=60,故y=600.9085x+25(x0).当y=55时,得55=600.9085x+25,即0.9085x=0.5,所以x=log0.90850.5=-ln2ln0.90850.69310.09607.易错提醒在用换底公式求值时要注意掌握公式的正确形式,换底后的对数值是等于真数的对数值除以底数的对数值,而不是底数的对数值除以真数的对数值.
11、三、解答题17.解析(1)原式=lg2+lg4+3lg5-log32log23=3(lg2+lg5)-1=3-1=2.(4分)(2)原式=271000-13-(-1)-216-2+(28)34+1=310-1-1(-1)2(6-1)-2+26+1=310-1-36+64+1=103+29=973.(10分)18.解析由x0,12x-31或x0,x1,解得-2x0或0x1,(4分)A=x|-2xa+1,a1,满足题意;当B时,2aa+1,2a-2,a+11,解得-1ab,由(1)知,a=4,b=2,g(x)=14x-12x+2,(8分)设t=12x,且x-1,2,则14t2.令h(t)=t2-t
12、+2t14,2,(10分)由h(t)=t-122+74知,74h(t)4,因此函数g(x)的值域为74,4.(12分)20.解析(1)要使函数有意义,则1-x0,x+30,解得x-3,即-3x1,所以函数f(x)的定义域为(-3,1).(4分)(2)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4.(6分)设t=-(x+1)2+4,当-3x1时,0t4,(8分)若函数f(x)有最小值而无最大值,则函数y=logat为减函数,则0a1,要求f(x)的单调增区间,则等价于求t=-(x+1)2+4在-3x1时的减
13、区间.(10分)t=-(x+1)2+4的单调递减区间为-1,1),f(x)的单调递增区间为-1,1).(12分)21.解析(1)当a=1时,f(x)=(lgx)2-2lg(10x)+3=(lgx)2-2(lg10+lgx)+3=(lgx)2-2lgx+1=(lgx-1)2,由x1100,10,得-2lgx1,(4分)因此,当lgx=1时,f(x)min=0;当lgx=-2时,f(x)max=9.故f(x)的值域为0,9.(6分)(2)f(x)=(lgx)2-2algx-2a+3,x1100,10.令t=lgx,t-2,1,则g(t)=t2-2at-2a+3.(8分)当a1时,f(x)min=g
14、(1)=4-4a.所以m(a)=2a+7,a1,所以m(a)max=4.(12分)22.解析(1)当a=-2时,f(x)=4x-22x-2=(2x-1)2-3,令t=2x,因为x(0,+),所以t=2x1,(2分)又函数y=(t-1)2-3的图像开口向上,其图像的对称轴为直线t=1,所以y=(t-1)2-3在(1,+)上单调递增,因此y(-3,+),即函数f(x)的值域为(-3,+);(4分)因此不存在常数M0,使得-Mf(x)M成立,所以f(x)在(0,+)上不是有界函数.(6分)(2)若函数f(x)在(-,0)上是以2为上界的有界函数,则-24x+a2x-22对任意的x(-,0)恒成立,即-2xa42x-2x对任意的x(-,0)恒成立.(7分)因为x420-20=3,(10分)因此要使-2xa42x-2x对任意的x(-,0)恒成立,只需0a3,即实数a的取值范围是0a3.(12分)
