1、课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a|=4，|b|=3，若：（1）ab；（2）ab；（3）a与b的夹角为60，分别求ab.思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a与b的夹角，由定义可求ab.解：(1)当ab时，若a与b同向，则它们的夹角=0,ab=|a|b|cos0=431=12;若a与b反向，则a与b的夹角=180,ab=|a|b|cos180=43(-1)=-12.(2)当ab时,a与b的夹角为90,ab=|a|b|cos90=0,(3)当a与b的夹角=60时，ab=|a|b|cos60=43=6.温馨提示 利用定义计算a与b的数量积，
2、关键是确定两向量的夹角.当ab时，a与b的夹角可能是0，也可能为180，解题时容易遗漏180的情形.2平面向量数量积的应用【例2】已知|a|=,|b|=3，a与b的夹角为45,求使向量a+b与a+b的夹角为锐角时，的取值范围.解：设a+b与a+b的夹角为.则cos=0,即(a+b)(a+b)0,展开得，a2+(2+1)ab+b20.|a|=2,|b|=3,ab=|a|b|cos45=3,2+3(2+1)+90,即32+11+30.或.另外=0时，=1.故1.(-,)(,1)(1,+).温馨提示 求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运
3、算律的比较【例3】 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120，求：（1）ab；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）（a+b）=（a+b）a+（a+b）b=aa+ba+ab+bb=a2+2ab+b2.解：（1）ab=|a|b|cos120=54(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)（a+3b）
4、=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（ab）2=a22ab+b2，（a+b）（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.因此，有的同学会相当然的用（ab）c=a（bc）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a|=2，|b|=5，且=45,求ab.解：由数量积的定义，a、b=|a|b|cos=25cos45=.变式提升1已知ABC中，a=5,b=8，C=60,
5、求.解：因为|=a=5,|=b=8,=180-C=180-60=120,所以=|cos=58cos120=-20.类题演练2已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.解析：(2a+b)(a-3b),2a2-5ab-3b2=0.即2(m+1)2+9-5m+1+3(m-1)-31+(m-1)2=0,整理得m2+10m-24=0,m=2或m=-12.a与b的夹角为钝角，m=2舍去.设a与b夹角为,则cos=.变式提升2(2006全国高考,文1)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为（ ）A.
6、 B. C. D.解析：cos=.a与b的夹角为，故选C.答案：C类题演练3已知|a|=|b|=5，=,求|a+b|，|a-b|.解：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，ab=|a|b|cos=55cos=.所以|a+b|=（a+b）2=同样可求|a-b|=变式提升3（1）若向量a与b夹角为30，且|a|=，|b|=1，则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_.思路分析：本题可利用cos=，由两向量的数量积和模求夹角余弦值.解：pq=（a+b）（a-b）=a2-b2=3-1=2，又|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=cos=.答案：（2）若非零向量、满足|+|=|-|，求与所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：|+|=|-|,|2|+2+|2=|2-2+|2，即4=0，=0，.与所成的角为90.
