1、课时检测不等式的证明(建议用时：45分钟)1(2015太原调研)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，求(ambn)(bman)的最小值【解】a，b，m，n为正数，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn时，取“”故(ambn)(bman)的最小值为2.2设a0，b0，ab1，求证：8.【证明】a0，b0，ab1，2ab1.因此，4.则(ab)2248.故8成立3(2014陕西高考改编)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，
2、求的最小值【解】由柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25.当且仅当时，等号成立，故的最小值为.4设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小【解】(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)知a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.5已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立【证明】因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc
3、)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立因此当且仅当abc3时，原式等号成立6(2014课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由【解】(1)由，得ab2.当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.7已知m0，a，bR，求证：2.【证明】m0，1m0.欲证2成立只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，只要证明a2
4、2abb20，又a22abb2(ab)20显然成立，故2.8已知a，b，c0且互不相等，abc1.试证明：.法二a，b，c是互不相等的正数，且abc1，bccaab.9(2015南京调研)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.【解】(1)f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.10已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论求函数y(0x1)的最小值【解】(1)证明：(ab).又a0，b0，0，当且仅当ab时等号成立ab.(2)0x1，1x0，由(1)的结论，函数y(1x)x1.当且仅当1xx即x时等号成立函数y(0x1)的最小值为1.
