1、内蒙古赤峰二中2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题1. 设命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在命题即可得到结论.【详解】全称命题的否定是存在命题,命题：，则为: ，故选：C【点睛】本题考查含有量词的命题的否定，属于简单题.2. 已知a,b,c都是实数,则在命题“若ab,则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【详解】原命题是一个假命题,因为当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式，所以逆否命题也为假
2、命题;原命题的逆命题是一个真命题,因为当ac2bc2时,一定有c20,所以必有c20,不等式两边同除一个正数,不等号方向不变,即若ac2bc2,则ab成立.所以否命题是也真命题,四个命题中有2个真命题.故选B.3. 设，则“”是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由，结合充要条件的定义得答案【详解】由可得设，则“”是的充要条件故选：【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题4. 是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答
3、案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，成立，可得，不能推出是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围
4、问题也可以转化为包含关系来处理.5. 方程，化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,表示点与点的距离.所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: 根据椭圆中:,得:所以椭圆的方程为: .故选:B.【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.6. 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以
5、距离为.考点：双曲线与渐近线7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，所以，则，所以，所以的周长为，故选C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8. 设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得三角形为直角三角形，从而得到再结合双曲线的定
6、义和离心率公式即可得到答案.【详解】由，可知,则由双曲线定义得即解得，故选A【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.9. 设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为,代点入方程即可求出双曲线方程,从而得到,再结合勾股定理即可求出,从而求出的面积.【详解】设等轴双曲线方程为,将点代入可得,双曲线标准方程为,又,所以,即,的面积为,故选:B.【点睛】本题考查双曲线的标椎方程及其基本性质的应用,需要学生具备一定的计算推理能力.10. 已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，
7、若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.【详解】设，的中点，所以，又，所以，即，而，所以，又，即椭圆方程为：.故选：D.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.11. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1k2)x24kx100，由结合韦达定理可得解.【详解】解析：把ykx2代入x2y26，得x2(kx2)26，化简得(1
8、k2)x24kx100，由题意知即解得k1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.12. 已知椭圆的离心率(，1)，则实数m的取值范围是A. (0，)B. (，+)C. (0，)(，+)D. (，1)(1，)【答案】C【解析】【分析】由椭圆离心率的范围可得的范围，再分别讨论椭圆的焦点在x轴和y轴两种情况求解即可.【详解】椭圆的标准方程为又，所以当椭圆的焦点在x轴上时，则 ；当椭圆的焦点在y轴上时，则所以实数m的取值范围是(0，)(，+)故选C【点睛】本题主要考查了由椭圆的离心率求参数范围，注意讨论椭圆的焦点在哪个轴上，属于易错题型.二、填空题13. 与双曲线有共同
9、的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为_【答案】-=1【解析】【分析】由题意，设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m0，且m1，代入点解出m即可【详解】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m0，且m1，则由题意可得，3-1=m，故m=2，故双曲线方程为-=1故答案为-=1【点睛】本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题14. 已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心率为_ .【答案】或【解析】【分析】分为焦点在轴和轴两种情况进行讨论，设出双曲线方程，求出渐近线方程，由渐近线经过点，求出和的关系，再利用及即可得解.【详解】当焦点在轴上时
10、，设双曲线的方程为，渐近线方程为，由渐近线经过点，得，解得，所以，双曲线的离心率；当焦点在轴上时，设双曲线的方程为，渐近线方程为，由渐近线经过点，得，解得，所以，双曲线的离心率.综上，双曲线的离心率为或.故答案为：或.【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线及离心率的求解，属于基础题.求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程.15. 设为椭圆的两个焦点，为椭圆在第一象限内的一点且点的横坐标为1，则的内切圆的半径为_.【答案】【解析】【分析】由点的横坐标为1，代入得出点的纵坐标，继而求得的面积S，再设的内切圆的半径为，由，可得答案.
11、【详解】因为点的横坐标为1，所以点的纵坐标为，所以的面积，设内切圆的半径为，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16. 在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是_.【答案】【解析】【分析】由椭圆与双曲线具有相同的焦点得，得出的关系，然后利用椭圆、双曲线的定义得出与的和差关系，用含的式子表示与，在中利用余弦定理求出，继而得到，利用三角形面积公式求解.【详解】根据对称性，不妨设P在第一象限.由题设可知.即，.根据椭圆与双曲线的定义得，在中，由余弦定理得.所以，.故答案为：【点睛】本
12、题考查椭圆、双曲线的定义在解题中的应用，考查三角形面积的计算问题，属于中档题.三解答题17. 设命题：方程表示双曲线；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为真命题，“”为真命题，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）解不等式组可得解；（2）根据复合命题的真假可得真假，根据为真命题，得或，根据真假列式，解得结果即可得解.【详解】（1）若为真命题，则，得或；（2）若为真命题，则，得或，“”为真命题，“”为真命题，真假则，解得或，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了由复合命题的真假判断命题
13、的真假，考查了椭圆和双曲线方程，属于中档题。18. 在中，角的对边分别为，且（1）求角A；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理得即可求A；（2）由面积公式求得c，再由余弦定理求a即可.【详解】（1）由余弦定理得即可求A；（2）由面积公式求得c，再由余弦定理求a即可（1），又，所以；又因为，所以.（2），又，所以，所以，所以.【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，熟记定理，准确计算是关键，是基础题.19. 已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数
14、列cn的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求的数列的前项和.【详解】（1）设等差数列an公差为d，等比数列bn的公比为q，因为b2=3，b3=9，可得，所以bn=b2qn-2=33n-2=3n-1，又由a1=b1=1，a14=b4=27，所以，所以数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1；（2）由题意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1，设数列cn的前n项和为，则.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差和等比数列的通项公式，考查了分组求和法，属
15、于中档题.题目给定数列为等差或者等比数列的情况下，将已知条件转化为，通过解方程组的方法求得这四个基本量，这是解数列题常用的方法.20. 已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，解得.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程
16、及其性质韦达定理弦长公式，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取的中点，连结，推导出四边形是平行四边形，得到，由线面平行的判定定理，即可证明平面 （2）由面面垂直的性质定理可证平面，得到平面，由面面垂直的判定定理，可证明平面平面【详解】证明：（1）取的中点，连接，.因为是的中点，所以为的中位线，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因平面平面，且平面平面，平面，所以平面.平面，.又因为，为的中点，所以，
17、平面，平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22. 设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）设点判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，.【解析】【分析】（1）由焦距与离心率求出和，根据椭圆得到性质求出，即可得到答案；（2）直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出，转换成坐标形式， 把代入，化简后可得到答案.【详解】（1）由题意知，所以，因，所以又因为，所以椭圆的方程为.（2）设，联立，消去整理得：，所以， ，所以.所以，是定值，-4.【点睛】本题主要考查二次函数、圆锥曲线和直线的位置关系、向量与圆锥曲线.
