1、广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试（3）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、图中阴影部分表示的集合是（ ）A BC D2、已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A B C D3、已知，且，则（ ）A B或 C D4、阅读如图的程序框图，若输入，则输出（ ）A B C D5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A BC D6、设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7、已知实数，满足约束条件
2、，若的最小值为，则实数（ ）A B C D8、设定义在上的函数，则当实数满足时，函数的零点个数为（ ）A B C D二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9、图中阴影部分的面积等于 10、在边长为的正方形的内部任取一点，使得点到正方形各顶点的距离都大于的概率是 11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为，下底为，高为的等腰梯形，则该几何体的全面积为 12、已知圆，直线（），圆心到直线的距离等于，则的值为 13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金
3、双曲线”的离心率等于 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14、（几何证明选讲选做题）如图，且，则 15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点与曲线（）上的点的最短距离为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16、（本小题满分12分）在中，角、所对的边分别为、，且求的值；20090520若，求的值17、（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为求甲获第一名且丙或第二名的概率；设在该次比赛中，甲得分为，求的分
4、布列和数学期望18、（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，求证：平面；求二面角的余弦值的大小19、（本小题满分14分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前项和求、和；若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在正整数，使得，成等比数列？若存在，求出所有，的值；若不存在，请说明理由20、（本小题满分14分）已知点，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线求曲线的方程；设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；在的条件下，记直
5、线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由21、（本小题满分14分）已知函数（，）在处取得极值求的解析式；设是曲线上除原点外的任意一点，过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；设函数，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDBADBAC二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9、 10、 11、 12、 13、
6、（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14、 15、三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16、解：在中，1分所以 2分3分所以 5分7分因为，由余弦定理，9分得11分解得12分17、解：甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，甲获第一的概率为 2分丙获第二，则丙胜乙，其概率为 4分甲获第一名且丙获第二名的概率为 6分可能取的值为O、3、67分甲两场比赛皆输的概率为8分甲两场只胜一场的概率为 9分甲两场皆胜的概率为 lO分的分布列为036P l2分18、证明：因为底面，所以，SBA是SB与平面ABCD所成的角 1分由已知SBA=45
7、，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，3分又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以. 4分因为SA底面ABCD,平面ABCD,所以SAPD, 5分由于SAAP=A 所以平面SAP 6分设Q为AD的中点,连结PQ, 7分由于SA底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD平面PAD 8分,PQ平面SAD，SD平面SAD, .过Q作QR，垂足为，连接，则.又，PRQ是二面角ASDP的平面角10分容易证明DRQDAS,则.因为，所以. 12分在RtPRQ中，因为PQ=AB=1，,所以. 13分所以二面角ASDP的余弦为 14分解法二：因为底面，所以，SBA是SB与平面ABCD所成的角.
8、1分由已知SBA=45，所以AB=SA=1建立空间直角坐标系（如图）由已知，P为BC中点于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）3分易求得,， 4分因为，.所以，.由于，所以平面. 6分设平面SPD的法向量为.由,得解得，所以. 8分又因为AB平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得. 9分所以. 13分所以所求二面角的余弦值为14分19、解：（法一）在中，令，得 即 2分解得， 3分， 5分（法二）是等差数列， 2分由，得 ，又，则 3分(求法同法一)当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 6分，等号在时取得此时 需满足 7分当
9、为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 8分是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 9分综合、可得的取值范围是10分， 若成等比数列，则，即11分（法一）由，可得，即， 12分 13分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列14分（法二）因为，故，即，（以下同上） 13分20、解：设动点，则(且)所以曲线的方程为().4分法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，令，则得，6分 =， 8分故 ，直线与直线的斜率之积的取值范围为10分法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，所以直线的方程为，令，则得，直线的方程为，令，则得， 8分故直线与直线的斜率之
10、积的取值范围为10分法一：由得，则直线的方程为，直线的方程为由，解得即 12分 点在曲线上. 14分法二：由（2）得， ，12分 点在曲线上. 14分法三：由（2）得， ，12分 点在曲线上. 14分21、解：2分又在处取得极值2. 4分由得假设存在满足条件的点A,且，则6分8分所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为或9分 ，令.当变化时，的变化情况如下表：1-0+0-单调递减极小值单调递增极大值单调递减在处取得极小值 ，在处取得极大值又时，的最小值为-211分对于任意的，总存在，使得当时，最小值不大于-2又当 时，的最小值为，由得12分当时，最小值为，由，得当时，的最小值为由，得或，又，所以此时不存在.13分综上，的取值范围是14分解法二：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2对于任意的，总存在，使得当时，有解 ，即在有解设所以当或时，(3)解法三：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2对于任意的，总存在，使得当时，有解综上，的取值范围是
