1、课堂导学三点剖析1.已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M的直角坐标为（2，2，3），求它的柱坐标.解:由变换公式得2=x2+y2=22+22=8.=2.又tan=1.=(M在第卦限)故M的柱坐标为（2，,3）2.已知直角坐标求球坐标【例2】设点M的直角坐标为（2，2，2），求它的球坐标.解:由公式得r=4.由rcos=z=2得cos=,=.又tan=1,=.点M的球坐标为（4，,）温馨提示 可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中，我们需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标系与柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要
2、(,z)或者(r,).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.3.柱坐标与球坐标在实际中的应用【例3】 已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、球坐标、柱坐标.解析:如题图,此题是考查空间直角坐标、球坐标、柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x,y,z)分别对应着CD、BC、CC1,C1点的(,z)分别对应着AC、BAC、CC1，
3、C1点的（r,)分别对应着AC1、A1AC1、BAC.解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).点评:应当注意,在球坐标系中,当点P在z轴上,不确定;点P与坐标原点O重合,与都不确定.各个击破类题演练1设M的直角坐标为（-2，2，4），求其柱坐标.解：由公式得2=22+(-2)2=8.=2.又tan=-1.=.柱坐标为(2，,4)变式提升1设M的柱坐标为（2，,7），求直角坐标.解：由公式得2=x2+y2=4.x2+y2=4.又tan=.y=.y2=1,y=1,x=.直角坐标为（，1，7）类题演练2
4、设M的直角坐标为（2，-2，2），求它的球坐标.解：由公式得r=4.由rcos=z得cos=,=.tan=-1,=.球的坐标为（2，,）.变式提升2设点的球坐标（r,）=(2,),求其直角坐标.解：x2+y2+z2=4.2()=z=.又tan=1.y=x,x=1,y=1.x=-1,y=-1.坐标为（1，1，）、（-1，-1，）.类题演练3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80，纬度为75.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为
5、端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系,如下图.由已知航天器位于经度80，可知=80，由航天器位于纬度75，可知=90-75=15，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.点P的球坐标为(8 755 km,15,80).变式提升3两平行面去截球，如下图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,a)、B(25,-arctan,B)，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=5,AOO1=arctan,BOO1=-arctan,在AOO1中,tanAOO1 =.OA=25,OO1=7.在BOO2中,BOO2=arctan,tanBOO2=.OB=25,OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.两个截面间的距离O1O2为27.
