1、空间向量基本定理基础达标练1.O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一组基底，则下列说法正确的是( )A.OA、OB、OC共线B.OA、OB共线C.OB、OC共线D.O、A、B、C四点共面答案：D2.（2020河南长垣一中高二月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若BD1=xAD+yAB+zAA1，则x+y+z的值为( )A.3B.1C.-1D.-3答案：B3.（多选）下列命题中是真命题的为( )A.若向量p=xa+yb，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则p=xa+ybC.若MP=xMA+yMB，则P，M，A，B四点共面D.若P，M，A，B四点共面，则
2、MP=xMA+yMB答案：A ; C4.（多选）若向量MA，MB，MC的始点M和终点A，B，C互不重合且三点不共线，则下列不能使向量MA，MB，MC成为空间的一组基底的是( )A.OM=13OA+13OB+13OC B.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OC D.MA=2MB-MC答案：A ; B ; D解析：对于A，由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于B，D，易知MA，MB，MC共面；只有C中MA，MB，MC不共面，只要MA，MB，MC共面，就不能作为一组基底，故选ABD.5.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面
3、ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且PM=23PC，PN=ND，则满足MN=xAB+yAD+zAP的实数x，y，z的值分别为( )A.-23，16，16 B.23，-16，16C.-23，16，-16 D.-23，-16，16答案：D解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则MN=EN-EM=12CD-(PM-PE)=12CD-(23PC-12PC)=12CD-16PC=-12AB-16(-AP+AB+AD)=-23AB-16AD+16AP，所以x=-23，y=-16，故选D.6.已知e1,e2,e3是空间的一组基底，若e1+e2+e3=0，则2+2+2= .答案：07.已知e1,e2
4、,e3为空间的一组基底，若a=e1+e2+e3，b=e1+e2-e3，c=e1-e2+e3，d=e1+2e2+3e3，且d=a+b+c则，分别为 .答案：52 ,-1,-12素养提升练8.在四面体OABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，若OG=13OA+x4OB+x4OC，则使G与M、N共线的x的值为( )A.1B.2C.23 D.43答案：A解析：易知ON=12(OB+OC)，OM=23OA，假设G，M，N三点共线，则存在实数使得OG=ON+(1-)OM=2(OB+OC)+2(1-)3OA=2(1-)3OA+2OB+2OC=13OA+x4OB+x4OC，所以2(1-)3=1
5、3,2=x4,2=x4,解得x=1，=12 .9.（2021山东蒙阴一中高二月考）已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，设AB=a，AD=b，AA=c，则（1）ACDB=，cos=；（2）BDAD=答案：（1）1; 13（2）1解析：（1）ACDB=(a+b+c)(a-b+c)=a2+c2+2ac-b2=1 .|AC|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=3，|AC|=3，|DB|2=(a-b+c)2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc=3|DB|=3，cos=ACDB|AC|DB|=13（2）BDAD=(b+c-a)b=|b|2+bc-ba=110.如图，在
6、直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，点N为AA1的中点（1）求|BN|的长；（2）求cos的值答案：（1）令CA=a，CB=b，CC1=c，则|a|=|b|=1，|c|=2，ab=ac=bc=0 .BN=CN-CB=CA+AN-CB=a+12c-b，所以|BN|=(a+12c-b)2=a2+14c2+b2+ac-2ab-bc=1+144+1=3 .（2）BA1=CA1-CB=CA+CC1-CB=a+c-b，CB1=CB+CC1=b+c，所以|BA1|=(a+c-b)2=a2+c2+b2+2ac-2ab-2bc=6，|CB1|=(b+c)2=5,BA1CB
7、1=(a+c-b)(b+c)=ab+ac+bc+c2-b2-bc=4-1=3 .所以cos=BA1CB1|BA1|CB1|=365=3010 .创新拓展练11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1OBD，A1OOG .解析：命题分析本题是以正方体为载体，证明向量垂直，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.答题要领在正方体中选定一组基底，表示向量A1O，BD，OG，然后利用向量A1O和BD，OG的数量积为0来证明.答案：证明设A1B1=a，A1D1=b，A1A=c则ab=0，ac=0，|a|=|b|=|c|，bc=0 .A1O=A1A+AO=A1A+12(AB+AD)=c+12a+12b，BD=AD-AB=b-a .OG=OC+CG=12(AB+AD)+12CC1=12a+12b-12c，A1OBD=(c+12a+12b)(b-a)=cb-ca+12ab-12a2+12b2-12ba=12(b2-a2)=12(|b|2-|a|2)=0 .A1OBD .同理可证A1OOG .方法感悟证明向量垂直时,常常将所求向量用某个基底表示,然后根据空间向量运算求解.5
