1、点到直线的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考)已知点A(1,0),直线l:x-y+1=0,则点A到直线l的距离为()A.1B.2C.2D.222.(2020江苏宿迁泗阳中学高二阶段测试)点A(-1,2)到直线y=-2x+10的距离是()A.52B.5C.25D.523.(2020江苏连云港高二学情调研)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为2,则点P的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)4.(2020天津一中高二期中)过点P(1,2)作直线l,使两点A(2,3)、B
2、(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程是()A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0D.4x+y-6=0或3x+2y-7=05.(2020上海徐汇中学高二期中)点P(2,3)到直线3x-2=0的距离为.6.(2020江苏盐城阜宁中学高二期中)设点P在直线x+3y=0上,且点P到原点的距离与点P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P的坐标是.7.求点P(2,-3)到下列直线的距离.(1)y=43x+13;(2)3y=4;(3)x=3.8.已知点A(a,6)到直线3x-4y-2=0的距离为4,求点A的坐标.题组二两平行线间的距离9.(2020江苏南京大
3、厂高级中学高二期中)已知直线l1:3x-4y-2=0和直线l2:3x-4y+3=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.2C.2D.310.(2020江苏盐城射阳中学高二期中)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+2=0平行,则它们之间的距离为 ()A.1B.12C.25D.4511.(2020江苏连云港东海石榴高级中学高二阶段测试)求与直线l:5x-12y+6=0平行且到直线l的距离为2的直线方程.题组三距离公式的综合应用12.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()A.(0,5B.(0
4、,5)C.(0,+)D.(0,1713.已知正方形的某两边所在的直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.14.(2019山西太原高二上期中)已知ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求ABC的面积.能力提升练题组一距离公式及其应用1.(2020江苏扬州高邮第一中学期中,)已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),则点M到直线NF的距离为()A.5B.23C.22D.332.(2020安徽六安一中高二月考,)已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+1=0平行,则l1与l2之间的
5、距离为()A.32B.2C.324D.223.(2020山东日照第一中学期中,)在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.(多选)(2020江苏泰州姜堰第二中学高二期中,)如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是()A.距离坐标为(0,0)的点只有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上5.(2020浙江杭州高二期末,)已知两点A(1,63)
6、,B(0,53)到直线l的距离均等于a,且这样的直线可作4条,则a的取值范围是()A.a1B.0a1C.0a1D.0a0,c0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则12a+2c的最小值为()A.92B.94C.1D.99.(2020江苏南京高淳高级中学高二月考,)点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d最大时,d与a的值依次为()A.3,-3B.5,2C.5,1D.7,110.(2020江苏南京江宁高级中学高二学情检测,)若实数x,y满足关系x+y+1=0,则x2+y2-2x-2y+2的最小值为.11.(2020江苏苏州田家炳高级中学高二期中,)已知直线l
7、的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中mR.(1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值;(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点,求AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此时的直线方程.答案全解全析基础过关练1.C点A(1,0),直线l:x-y+1=0,则点A到直线l的距离为|1-0+1|12+(-1)2=2.故选C.2.C将直线y=-2x+10化为2x+y-10=0,则点A(-1,2)到直线y=-2x+10的距离d=|2(-1)+2-10|22+12=105=25.故选C.易错警示利用点到直线的距离公式解题时,需要将直线方程化成一般式方程.3.C设点P的
8、坐标为(x,5-3x),则由点到直线的距离公式,得|x-5+3x-1|12+(-1)2=2,即|4x-6|=2,4x-6=2,x=1或x=2,点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选C.4.D当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不成立;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,两点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,|2k-3-k+2|k2+1=|4k+5-k+2|k2+1,解得k=-4或k=-32.直线l的方程为-4x-y+4+2=0或-32x-y+32+2=0,整理,得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.故选D.易错警示注
9、意设直线方程时,需要分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论.5.答案43解析由点到直线的距离公式得|6-2|3=43.6.答案-35,15或35,-15解析设P(-3a,a),由题意得(-3a)2+a2=|-3a+3a-2|10,即10a2=25,解得a=15,故P-35,15或35,-15.7.解析(1)y=43x+13可化为4x-3y+1=0,点P(2,-3)到该直线的距离为|42-3(-3)+1|42+(-3)2=185.(2)3y=4可化为3y-4=0,由点到直线的距离公式得|-33-4|02+32=133.(3)x=3可化为x-3=0,由点到直线的距离公式得|2-3|1=1.8.解析根
10、据点到直线的距离公式得|3a-46-2|32+(-4)2=4,解得a=2或a=463.故点A的坐标为(2,6)或463,6.9.A由题意可知两直线平行,由两平行线间的距离公式得|-2-3|32+(-4)2=1.故选A.10.D依题意可得3m-46=0,且42+3m0,解得m=8,所以直线6x+my+2=0的方程为6x+8y+2=0,即3x+4y+1=0,则两平行线间的距离为|1-(-3)|32+42=45.故选D.11.解析解法一:设所求直线方程为5x-12y+C=0(C6),在直线5x-12y+6=0上取一点P00,12,则点P0到直线5x-12y+C=0的距离为-1212+C52+(-12
11、)2=|C-6|13,由题意,得|C-6|13=2,所以C=32或C=-20,故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.解法二:设所求直线方程为5x-12y+C=0(C6),由两平行线间的距离公式,得2=|C-6|52+(-12)2,解得C=32或C=-20,故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.12.A易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得PQ=(2+1)2+(-1-3)2=5,故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5.13.答案2解析由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d=22=2
12、,所以正方形的面积为2.14.解析(1)由题可知,直线BC过B(2,3),C(3,-2),其方程为y-3-2-3=x-23-2,化简得5x+y-13=0,直线BC的方程为5x+y-13=0.(2)由题可知BC=(3-2)2+(-2-3)2=26,A(1,1)到直线BC的距离d=|5+1-13|25+1=72626,SABC=12BCd=122672626=72,ABC的面积为72.能力提升练1.B易知直线NF的斜率k=-3,故直线NF的方程为y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以点M到直线NF的距离为|33+23-3|(3)2+12=23.故选B.2.C因为l1l2,所以a(a-1)-2
13、1=0,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1,l2的方程均为x+2y+1=0,此时两直线重合,不符合条件;当a=-1时,l1:-2x+2y+1=0,即x-y-12=0,l2:x-y+1=0,符合条件.所以l1与l2之间的距离为1-121+1=324.故选C.3.B根据题意可知,所求直线的斜率存在,可设直线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,所以|k-2+b|k2+1=1,|3k-1+b|k2+1=2,解得k=0,b=3或k=-43,b=53,所以所求直线方程为y=3或4x+3y-5=0,所以符合题意的直线有2条.故选B.4.ABC对于A,若距离坐标为(0,0),则P到两条直线的距离都为0
14、,则P为两直线的交点,所以距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),则P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,所以P在直线l1上,且P到直线l2的距离为1,符合条件的点有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),则P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,符合条件的点有4个,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),则P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线(MON的平分线及其外角的平分线所在直线)上,D错误.故选ABC.5.B如图所示:当A,B在直线的同一侧时,可作2条符合题意的直线,所以若符合题意的直线有4条,则当A
15、,B两点在直线的两侧时,还应该有两条符合题意的直线,所以2aAB,因为AB=(1-0)2+(63-53)2=2,所以02a2,所以0a0,c0)恒过点P(1,m),a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,(4-1)2+(0-m)2=3,解得m=0.a+c=2.12a+2c=12(a+c)12a+2c=1252+c2a+2ac1252+2c2a2ac=94,当且仅当a=23,c=43时取等号.故选B.9.C易知直线恒过点(-3,3),记A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与A,P两点所在直线垂直时,距离d最大,最大值为5,此时a=1.10.答案3
16、22解析x2+y2-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2,此式可看成一个动点M(x,y)与一个定点N(1,1)之间的距离,记S=x2+y2-2x-2y+2,所以S为点N与直线l:x+y+1=0上任意一点M(x,y)之间的距离,由点到直线的距离公式,可得|1+1+1|2=322,所以S的最小值为322.解题模板形如(x-a)2+(y-b)2的形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题,结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.11.解析(1)直线l的方程可化为2x+y+4+(-x+2y+3)m=0,由题意知,其对任意m都成立,所以2x+y+4=0,
17、-x+2y+3=0,解得x=-1,y=-2,所以直线恒过定点(-1,-2).点Q(3,4)到直线的距离的最大值,就是点Q与定点(-1,-2)所连线段的长度,即(3+1)2+(4+2)2=213.(2)由于直线l经过定点(-1,-2),因此直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y+2=k(x+1),k0,则直线l与x轴、y轴的负半轴分别交于A2k-1,0,B(0,k-2)两点,2k-10,k-20,解得k0,SAOB=122k-1|k-2|=121-2k(2-k)=2+2-k+-k22+2=4,当且仅当2-k=-k2,即k=-2时取等号,故AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.
