1、3.2 均值不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.对于任意实数a、b，下列不等式一定成立的是( )A.a+b B.C.a2+b22ab D.2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a、b不能保证是正值A、B、D都不一定成立，只有C对任意实数恒成立也可以采用特殊值代入检验进行排除答案：C2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x+27y的最小值是_.解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y=6,当且仅当3x=33y时取等号.答案：63.函数f（x）=x+3在（-，-2上( )A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最
2、小值-1 D.有最大值-1，无最小值解析：x-2，f（x）=x+3=-（-x）+（）+3+3=-1，当且仅当-x=，即x=-2时取等号.f（x）有最大值-1，无最小值，故选D.此外，该题也可利用函数f（x）=x+3在（-，-2上的单调性求解.答案：D4.若x3,那么当x=_时,y=取最小值_.解析：y=x+=x-3+3+3=5,当且仅当x-3=即x=4时,y取最小值5.答案：4 510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a、bR，且a2+b2=4，那么ab( )A.最大值为2，最小值为-2 B.最大值为2，但无最小值C.最小值为2，但无最大值 D.最大值为2，最小值为0解析：这里没有限制
3、a、b的正负,则由a2+b22|ab|即|ab|2,所以,-2ab2,可知最大值为2，最小值为-2.答案：A2.设f（x）=（）x，a、bR+，A=f（），G=f（），H=f（），K=f（），则A、G、H、K的大小关系是( )A.HGAK B.AKHGC.AKGH D.KAGH解析：首先由已知条件可知f（x）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断的大小即可.答案：D3.已知x=（a2），y=（b0），则x、y之间的大小关系是( )A.xy B.xy C.x=y D.不能确定解析：x=（a-2）+2+2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y=4.xy.答案：A4.三个同
4、学对问题“关于x的不等式x2+25|x3-5x2|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是_.解析：由x2+25+|x3-5x2|ax,1x12ax+|x2-5x|，而x+=10，等号当且仅当x=51,12时成立；且|x2-5x|0，等号当且仅当x=51，12时成立；所以，ax+|x2-5x|min=10，等号当且仅当x=51,
5、12时成立；故a(-,10.答案：a(-,105.已知x、yR+，且=1，求x+y的最小值.解:x0，y0，=1，x+y=（）（x+y）=+10=6+10=16，当且仅当，又=1即时等号成立.6.已知a0,b0,且a+2b=10,求y=的最大值.解法一:由于a0,b0,且a+2b=10,则有y=.当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.所以y=的最大值为.解法二:由于a0,b0,且a+2b=10,则有y2=(a+2)+(2b+3)+15+(a+2)+(2b+3)=30.当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.又y0,所以,y.所以y=的最大值为.30分钟训练(巩
6、固类训练，可用于课后)1.下列求最值过程中正确的是( )A.若0x，则y=sinx+.所以y的最小值是2B.若0x，则y=sinx+.所以y的最小值是C.若x0，则y=2+x+2+=6.所以y的最小值是6D.若0x1，则y=x（4-x）2=4.所以y的最大值为4解析：A、B、D中等号都取不到.A中需满足sinx=，即sinx=（0，1；B中由得sinx=（0，1；D中由x=4-x得x=2（0，1）.答案：C2.函数y=(x-1)的图象的最低点的坐标是( )A.（1，2） B.（1，-2） C.（1，1） D.（0，2）解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y的值.x-1,x+10
7、则y=(x+1)+=2当且仅当x+1=，即x=0或x=-2(舍去)时等式成立.当x=0时，y=2.即当x=0时,y取最小值2.答案：D3.某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差，为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成绩，他决定重点复习英语，结果两次考试英语成绩每次提高了10%，但数学成绩每次却下降了10%，这时恰好两门都得m分，这个学生这两门的期末总成绩比期中是( )A.提高了 B.降低了C.未提未降 D.是否提高与m的值有关解析：设期中数学成绩为x分，英语为y分，依题意x（1-10%）2=m，y（1+10%）2=m，x+y=m（）.22，x+y2m.答案：B4.设x、y为正数, 则
8、(x+y)()的最小值为( )A.6 B.9 C.12 D.15解析：x，y为正数，(x+y)()1+4+9，当且仅当即y=2x时，原式最小值为9.答案：B5.函数y=（0x10）的最大值为_.解析：0x10,10-x0,所以,y=5,当且仅当x=10-x即x=5时等号成立.答案：56.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_.解析：令=t(t0),由ab=a+b+32+3,得t22t+3,又t0,所以,可得t3即3,所以ab9.答案：ab97.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（）2千米
9、，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_小时.解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y=10.答案：108.求函数y=的最值.解:1）当x0时，y=13+x+13+=25，当且仅当x=即x=6时取等号.所以当x=6时，ymin=25.2）当x0时，-x0，0,(-x)+()=12.y=13-(-x)+()13-12=1.当且仅当-x=，即x=-6时取等号，所以当x=-6时，ymax=13-12=1.9.已知ab0，求的最小值.解:由ab0，知a-b0，则b(a-b)=()2()2=，a2+=16，上式中两个“”号中的等号当且仅当b=a-b和a2=时成立，即a=，b=时，min=16.10.如右图，树顶A离地面a m，树上另一点B离地面b m.在离地面c m的C处看此树，离此树多远时视角最大?解:过点C作CDAB交AB延长线于点D.设BCD=，ACB=，CD=x.在BCD中，tan=.在ACD中，tan（+）=，则tan=,在(0，)内正切函数是增函数.当且仅当x=，即x=时，视角最大.
