1、2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=x|x22x80，集合N=x|lgx0，则MN=（）Ax|2x4Bx|x1Cx|1x4Dx|x22复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知sin+cos=，则sincos的值为（）ABCD4已知f（x）=x5ax3+bx+2，且f（5）=3，则f（5）+f（5）的值为（）A0B4C6D15为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，某高中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如表所示联表及附表：
2、做不到“光盘”行动做到“光盘”行动男4510女3015P（K2k0）0.100.050.025k02.7063.8415.024经计算：K2=3.03，参考附表，得到的正确结论是（）A有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”B有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”C有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”D有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”6“数列an成等比数列”是“数列lgan+1成等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A1BCD8设
3、f（x）=，则f（x）dx的值为（）A +B +3C +D +39设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）ABC2D10一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD11有一个7人学习合作小组，从中选取4人发言，要求其中组长和副组长至少有一人参加，若组长和副组长同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A720种B600种C360种D300种12已知函数f（x）=x存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A有3条B有2条C有1条D不存在二、填空题（共
4、4小题，每小题5分，共20分）13已知随机变量X服从正态分布N（0，2），且P（2X0）=0.4，则P（X2）=14的展开式的常数项是15设O点在ABC内部，且有，则ABC的面积与AOC的面积的比为16在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC3ccosB=a，则tan（BC）的最大值为三、解答题（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤）17已知数列an的前n项和Sn=2n2+n，nN*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=4log2bn+3，nN*，求数列anbn的前n项和Tn18某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有
5、如下对应数据：x24568y3040605070（）求回归直线方程；（）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值20已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=（）求椭圆
6、C的方程；（）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（）令g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，已知O是ABC的外接圆，AB=BC
7、，AD是BC边上的高，AE是O的直径（1）求证：ACBC=ADAE；（2）过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为=2（cos+sin）（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求a的取值范围2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下
8、）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=x|x22x80，集合N=x|lgx0，则MN=（）Ax|2x4Bx|x1Cx|1x4Dx|x2【考点】交集及其运算【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：（x4）（x+2）0，解得：2x4，即M=2，4，由N中lgx0，得到x1，即N=1，+），则MN=1，4，故选：C2复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意
9、义【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】解：=i复数在复平面对应的点的坐标是（，）它对应的点在第四象限，故选D3已知sin+cos=，则sincos的值为（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由题意可得可得1cossin0，2sincos=，再根据sincos=，计算求得结果【解答】解：由sin+cos=，可得1cossin0，1+2sincos=，2sincos=sincos=，故选：B4已知f（x）=x5ax3+bx+2，且f（5）=3，则f（5）+f（
10、5）的值为（）A0B4C6D1【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据已知中f（x）=x5ax3+bx+2，可得f（x）+f（x）=4，解得答案【解答】解：f（x）=x5ax3+bx+2，f（x）=（x5ax3+bx）+2，f（x）+f（x）=4，故选：B5为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，某高中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如表所示联表及附表：做不到“光盘”行动做到“光盘”行动男4510女3015P（K2k0）0.100.050.025k02.7063.8415.024经计算：K2=3.03，参考附表，得到的正确结论是（）A有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到
11、与性别有关”B有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”C有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”D有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”【考点】独立性检验的应用【分析】通过观测值参照临界值表即可得到正确结论【解答】解：由K2=3.03，参考附表，2.7063.0303.841有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行动到与性别有关”6“数列an成等比数列”是“数列lgan+1成等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定【分析】数列an成等比数列，公比为q若a10时，则lgan+1没有意义由数列
12、lgan+1成等差数列，则（lgan+1+1）（lgan+1）=为常数，则为非0常数即可判断出结论【解答】解：数列an成等比数列，公比为qan=若a10时，则lgan+1没有意义由数列lgan+1成等差数列，则（lgan+1+1）（lgan+1）=为常数，则为非0常数“数列an成等比数列”是“数列lgan+1成等差数列”的必要不充分条件故选：B7某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A1BCD【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行过程，对运行过程中变量S的值的变化情况进行分析，找出各项之间的规律，不难给出答案【解答】解：依题
13、意得，运行程序后输出的是数列an的第2013项，其中数列an满足：a1=1，an+1=注意到a2=，a3=，a5=1，该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2013=4503+1，因此a2013=a1=1，运行程序后输出的S的值为1故答案为：A8设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A +B +3C +D +3【考点】定积分【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，f（x）dx=+（），=+，故答案选：A9设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若，（c为半焦
14、距），则双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】由，可得PF1F2是直角三角形，由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1PF2|22|PF1|PF2|=4a24ac，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意得，PF1F2是直角三角形，由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1PF2|22|PF1|PF2|=4a24ac，c2aca2=0，e2e1=0，e1，e=故选：D10一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图【分析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（
15、图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高为4设其外接球的球心O必在高线EF上，利用外接球的半径建立方程，据此方程可求出答案【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高EF=4设其外接球的球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，则在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=（EFEO）2+AF2，即R2=（4R）2+（3）2，解得：R=故选C11有一个7人学习合作小组，从中选取4人发言，要求其中组长和副组长至少有一人参加，若组长和副组长同时参加，则
16、他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A720种B600种C360种D300种【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，分别求出每一种情况下的情况数目，再由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，、若甲乙其中一人参加，需要从剩余5人中选取3人，从甲乙中任取1人，有2种情况，在剩余5人中任取3人，有C53=10种情况，将选取的4人，进行全排列，有A44=24种情况，则此时有21024=480种情况；、若甲乙两人都参加，需要从剩余5人中选取2人，有C52=10种选法，将甲乙和选出的2人，进行全排列，有A44=24
17、种情况，则甲乙都参加有1024=240种情况，其中甲乙相邻的有C52A44A22A33=120种情况；则甲乙两人都参加且不相邻的情况有240120=120种；则不同的发言顺序种数480+120=600种，故选：B12已知函数f（x）=x存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A有3条B有2条C有1条D不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（，+）有解，讨论a0，a0可得a0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1=（1）x01，消去a得x
18、01=0，设h（x）=exxex1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+）有唯一解，由a0，即可判断不存在【解答】解：函数f（x）=x的导数为f（x）=1e，依题意可知，f（x）0在（，+）有解，a0时，f（x）0 在（，+）无解，不符合题意；a0时，f（x）0即ae，lna，xalna符合题意，则a0易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1）x1假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1=（1）x01，消去a得，设h（x）=exxex1，则h（x）=exx，令h（x）0，则x0，所以h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当x，h（x）1
19、，x+，h（x）+，所以h（x）在（0，+）有唯一解，则，而a0时，与矛盾，所以不存在故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13已知随机变量X服从正态分布N（0，2），且P（2X0）=0.4，则P（X2）=0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量服从正态分布N（0，2），由此知曲线的对称轴为Y轴，可得P（0X2）=0.4，即可得出结论【解答】解：随机变量服从正态分布N（0，2），且P（2X0）=0.4，P（0X2）=0.4P（X2）=0.50.4=0.1故答案为：0.114的展开式的常数项是12【考点】二项式系数的性质【分析】
20、（x2+2）（1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取； 第一个因式取2，第二个因式取（1）5，可得结论【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=10第一个因式取2，第二个因式取（1）5，可得2（1）5=2展开式的常数项是10+（2）=12故答案为：1215设O点在ABC内部，且有，则ABC的面积与AOC的面积的比为3【考点】向量在几何中的应用【分析】根据，变形得，利用向量加法的平行四边形法则可得2=4，从而确定点O的位置，进而求得ABC 的面积与AOC 的面积的比【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，即2=4，O是DE的一个三等分点，=3，故答案为：316在ABC中
21、，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC3ccosB=a，则tan（BC）的最大值为【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值【解答】解：3bcosC3ccosB=a，3sinBcosC3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinBcosC=2cosBsinC，tanB=2tanCtan（BC）=故答案为：三、解答题（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤）17已知数列an的前n项和S
22、n=2n2+n，nN*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=4log2bn+3，nN*，求数列anbn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据an=解出；（2）求出bn，使用错位相减法求和【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n2时，经检验，n=1时，上式成立an=4n1，nN*（2）an=4log2bn+3=4n1，bn=2n1，nN*，2得：，故18某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（）求回归直线方程；（）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（）在已有的五组数据中任意抽取两组
23、，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率【考点】回归分析的初步应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（I）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程（II）当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差【解答】解：（I）=6.5a=17.5线性回归方程是：（）：根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，y=6.510+17.5=82.5 （万元） 即这种产品的销售收入大约为82.5万元x24568y3040
24、60507030.543.55056.569.5（）解：基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：（60，50）所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直
25、线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（I）由平行四边形的性质可得ABAC，即EFAC，由面面垂直的性质得出PA平面ABCD，故PAEF，故EF平面PAC；（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设=（01），求出平面PBC，平面ABCD的法向量及的坐标，根据线面角相等列方程解出【解答】（）证明：在平行四边形ABCD中，BCD=135，ABC=45，AB=AC，ABACE，F分别为BC，AD的中点，EFAB，EFAC侧面PAB底面ABCD，且BAP=90，PA底面ABCD又EF底面ABCD，PAEF又PAAC=A，PA平面PAC，AC平面
26、PAC，EF平面PAC（）解：PA底面ABCD，ABAC，AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（2，2，0），E（1，1，0），=（2，0，2），=（2，2，2）， =（1，1，2）设=（01），则=（2，2，2），=（1+2，12，22），显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，得=（1，1，1）cos，=，cos=直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，|=|，即，
27、解得，或（舍）20已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=（）求椭圆C的方程；（）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质【分析】（）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（）先猜测T的坐标，再进行验证若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得【解答】解：（）则由题设可
28、知b=1，又e=，=，a2=2 所以椭圆C的方程是+y2=1（）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 由解得由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）事实上点T（0，1）就是所求的点证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x212kx16=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（x1，y11），=（x2，y21）=x1x2+（y11）（y21）=（k2
29、+1）x1x2（x1+x2）+=，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（）令g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【
30、解答】解：（）因为f（1）=，所以a=2此时f（x）=lnxx2+x，x0，由f（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0（），所以当a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，当a0时，令g（x）=0，得所以当时，g（x）0；当时，g（x）0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数综上，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，+），无递减区间；当a0时，函数g（x）的递增区间是，递减区间是（）由x10，x20，即x1+x20令t=x1x2，则由x10，x2
31、0得，t0可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1，所以，解得或又因为x10，x20，因此成立请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，已知O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是O的直径（1）求证：ACBC=ADAE；（2）过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）首先连接BE，由圆周角定理可得C=E，又由AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，可得ADC=AB
32、E=90，则可证得ADCABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得ACAB=ADAE；（）证明AFCCFB，即可求AC的长【解答】（）证明：连接BE，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，ADC=ABE=90，C=E，ADCABEAC：AE=AD：AB，ACAB=ADAE，又AB=BC故ACBC=ADAE（）解：FC是O的切线，FC2=FAFB又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BFAF=5ACF=CBF，CFB=AFC，AFCCFB选修4-4：坐标系与参数方程23极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
33、=2（cos+sin）（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）将极坐标方程两边同乘，进而根据2=x2+y2，x=cos，y=sin，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为=2（cos+sin）2=2cos+2sinx2+y2=2x+2y即（x1）2+（y1）2=2（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2t1=0，所
34、以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）若a=1，由绝对值的意义求得不等式f（x）3的解集（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a1|，可得|a1|=2，由此求得a的值【解答】解：（1）若a=1，函数f（x）=|x1|+|xa|=|x1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、1对应点的距离之和，而1.2和 1.5 对应点到1、1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）3的解集为x|1.5，或 x1.5（2）由于xR，f（x）2，故函数f（x）的最小值为2函数f（x）=|x1|+|xa|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a1|，即|a1|=2，求得a=3 或a=12016年8月2日
