1、北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高一年级统一考试数学试卷 2016.1（考试时间100分钟 满分120分）第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（A）， （B），（C），（D），（2）若，则下列不等式中成立的是（A） （B） （C） （D）（3）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确度）为（A） （B） （C） （D）（4）某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（A）？ （B）？（C）
2、? （D）? （5）给定函数，其中在区间上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）（6）已知，则，三者的大小关系是（A） （B） （C） （D）（7）函数（）的图象的大致形状是 （8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数，和方差进行比较，下面结论正确的是（A），乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 （B），甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定（C），乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 （D），甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（）与行走时间（
3、）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是 （10）已知函数，若对任意，总有 或成立，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D） 第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.（11）已知函数 则的值是_（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单 位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知 .若要从身高在，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 . （13）设，则函数的最大值为 （14）如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆
4、，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）（15）若函数的图象关于轴对称，则 （16）关于函数 有以下四个命题：对于任意的，都有；函数是偶函数；若为一个非零有理数，则对任意恒成立；在图象上存在三个点，使得为等边三角形其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共4小题，共40分.（17）（本题满分9分）已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.()当时，求；（）若，求实数的值.（18）（本题满分9分）空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气污染越严重：PM2.5日
5、均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2013年3月8日4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：()估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；()从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.（19）（本题满分10分）已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，. （）求的值；（）求的解析式；（）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.（20）（本题满分12分）定义在上的函数，如果对任意，都有（）成立，则
6、称为阶伸缩函数（）若函数为二阶伸缩函数，且当时，求 的值；（）若函数为三阶伸缩函数，且当时，求证：函数在上无零点；（）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高一年级统一考试数学试题答案及评分标准 2016.1第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.题号12345678910答案DDCABADBCC 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.题号111213141516答案注：（12）题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共4小题，共40分.（17）解:（）由的定义域得.
7、 当时， 则. 所以. 6分 （）因为，所以有. 解得. 此时，符合题意.所以. 9分（18）解:（）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天， 所以此次监测结果中空气质量为良的概率为； 3分（）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为，； 样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为， 则基本事件有：，共15个. 其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：，共9个. 所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为. 9分（19）解:（）因为定义域为的函数是奇函数，所以. 2分（）因为当时，所以. 又因为函数是奇函数，所以. 所以. 综上， 6分（）由得.因为是奇函数， 所以.又在上是减函数，所以. 即对任意恒成立.【方法一】令，则.由，解得. 【方法二】即对任意恒成立. 令， 则 故实数的取值范围为 10分（20）解:（）由题设，当时，所以. 因为函数为二阶伸缩函数，所以对任意，都有. 所以. 4分（）当（）时，由为三阶伸缩函数，有. 注意到时，.所以令，解得或，它们均不在内. 7分所以函数在上无零点 8分（） 由题设，若函数为阶伸缩函数，有， 且当时， 的取值范围是.所以当时， 因为， 所以所以当时，. 当时，即，则使，即，又， ，即因为，所以在（）上的取值范围是12分
