1、课堂导学三点剖析一、指数函数的定义域、值域的求法【例1】求下列函数的定义域与值域:(1)y=2;(2)y=()-|x|;(3)y=4x+2x+1+1.解析：(1)x-40,x4.定义域是xR|x4.0,21.函数的值域是y|y0且y1.(2)定义域为R.|x|0,y=()|x|=()|x|()0=1.y=()|x|的值域是y|y1.(3)定义域是R.y=4x+2x+1+1=(2x)2+22x+1=(2x+1)2,且2x0,y1.y=4x+2x+1+1的值域是y|y1.温馨提示(1)由于指数函数y=ax(a0且a1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同.(
2、2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.二、比较两个数的大小问题【例2】比较下列各题中两个值的大小.(1)()0.8与()1.8;(2)()与();(3)1.70.3与0.93.1.思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小.解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数y=()x在R上是减函数,所以()1.6()1.8,即()0.8()1.8.(2)因为()=(),且函数y=()x在R上是减函数,所以()(),即()1.70=1,又0.93.10.
3、93.1.温馨提示 两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、1等.三、复合函数的单调性【例3】求函数y=()的单调区间.思路分析：函数y=()可认为由y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x2-6x+17与y=()u的性质.解:函数u=x2-6x+17在3,+)上是增函数,即对任意的x1、x23,+)且x1x2,都有u1(),即y1y2.y=()在3,+)上是减函数.同理,y=()在(-,3上是增函数.温
4、馨提示 当a1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当0a0且y2.值域为yy0且y2.变式提升1已知指数函数f(x)=ax在-1,1上的最大值与最小值之差为1,求a的值.解析：当a1时,f(x)max=a,f(x)min=a-1,由a=1,知a2-a-1=0,a=.当0a1.51.44,21.821.521.44.y1y3y2.变式提升2将下列各数从小到大排列起来:(),(),3,(),(),()0,(-2)3,().解析：()0=1,可先将其余的数分成三类:(1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(),(),()=();(3)大于1的数:()=(),3,().在(2)中
5、,()()=()1,()().01,().故在(2)类中,有()()().在(3)中,()=()()3.由此可得(-2)3()()()-()0()()3.类题演练3求函数f(x)=()的单调区间.解析：由x2-2x-30,得x3或x-1.又知g(x)=x2-2x-3在3,+)上是增函数,在(-,-1上是减函数.又0且a1)的单调区间.解析：设f(x)=2ax2-x-1.在-1,1上方程有且仅有一个实根,f(-1)f(1)0,即2a(2a-2)0,0a1.a0,a1,0a1.y=a中,设u=-3x2+x=-3(x)2+.y=au是减函数,当x(-,时,u是增函数,y=a是减函数.当x,+)时,u是减函数,y=a是增函数.该函数的单调增区间为,+),单调减区间为(-,.
