1、课后导练基础达标1.已知CD是RtABC斜边AB上的高,则下列等式不成立的是( )A.CD2=ADBD B.BC2=BDABC.AC2=ADAB D.ADAC=BDBC解析：根据射影定理,A、B、C均正确,只有D无根据.答案:D2.如图1-5-8,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AC=12,BC=5,则CD的长为( )图1-5-8A. B. C. D. 解析：AB=.ADAB=AC2,BDAB=BC2,AD=,BD=.又CD2=ADBD,CD=.答案:A3.如图1-5-9,已知AB为O直径,弦CDAB,E为垂足,EFBD,F为垂足,若BF=9,DF=3,则AE的长为( )图1-5
2、-9A. B. C. D.解析：连结AD.CDAB,EFBD,在RtBDE中,由射影定理BE2=BFBD=BF(BF+DF)=9(9+3)=108.BE=6.AB为直径,ADB=90.由射影定理得BEAB=BD2.BE(BE+AE)=BD2.6(6+AE)=122.AE=2.答案:B4.如图1-5-10,在RtABC中,C=90,CD为AB边上的高,AD=8,DB=2,则CD的长为( )A.4 B.16 C. D.图1-5-10解析：ACB=90,CDAB,CD2=ADBD=82=16.CD=4.答案:A5.在ABC中,BAC=90,ADBC于D,下列关系中错误的是( )A.= B.BDCD=
3、AD2+BD2C.= D.=图1-5-11解析：AB2=BDBC,AC2=CDBC,=,A正确.AD2=BDCD,BDCDAD2+BD2,B错误.,C正确.ABDCAD,=()2=,D正确.答案:B综合运用6.在ABC中,ABC=123,CDAB于D,若BC=1,求AB、AC、AD、CD、BD的长.图1-5-12解析：设A=x,则B=2x,C=3x,x+2x+3x=180,x=30.A=30,B=60,C=90.如图1-5-12,RtABC中,A=30,AB=2BC=2,AC=.AC2=ADAB,AD=.BC2=BDAB,BD=,CD=.7.如图1-5-13,梯形ABCD中,ADBC,ADCD
4、,AD、BC与O切于D、C点,AB与O切于E点,求证:OD2=ADBC.图1-5-13证明:连结OA、OB.ODAD,OEAE,在RtOAE、RtOAD中,OAEOAD.AD=AE,1=2.同理,BC=BE,3=4.2+3=1+4=90.在RtAOB中,OEAB,OE2=AEBE.OD2=ADBC.8.如图1-5-14,已知ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEBC于E.图1-5-14求证:=.证明:ACB=90,CDAB,BC2=BDAB,AC2=ADAB.=.又DEBC,ACBC,DEAC.=.=.9.如图1-5-15,已知CE是RtABC斜边AB上的高,P是EC延长线上的一点,连结A
5、P,BGAP于G,BG交CE于D.求证:CE2=EDEP.图1-5-15证明:BGAP,P+2=90.PEAB,P+3=90.2=3.又1=2,1=3,BED=PEA=90.BEDPEA.BEAE=EDEP.由射影定理CE2=AEBE,CE2=EDEP.拓展探究10.求证:(1)若射影定理成立,则勾股定理成立;(2)若勾股定理成立,则射影定理成立.图1-5-16证明:如图,RtABC中,CD为斜边上的高.(1)由射影定理AC2=ADAB,BC2=BDAB,AC2+BC2=ADAB+BDAB=(AD+BD)AB=AB2,即勾股定理成立.(2)AB=AD+BD,AB2=(AD+BD)2=AD2+B
6、D2+2ADBD.AB2-AD2-BD2=2ADBD.AC2+BC2-AD2-BD2=2ADBD.(AC2-AD2)+(BC2-BD2)=2ADBD.CD2+CD2=2ADBD.CD2=ADBD.AC2=CD2+AD2=ADBD+AD2=AD(BD+AD)=ADAB,同理,BC2=BDAB.由说明若勾股定理成立,则射影定理成立.备选习题11.ABC中,C=90,CD是斜边上的高,已知CD=60,AD=25,则BC=_.图1-5-17解析：由射影定理CD2=ADBD,602=25BD,BD=144.又BC2=BDAB=144(144+25),BC=156.答案:15612.如图1-5-18,已知
7、ABC中,顶点C在AB上的射影为D且AC2=ADAB,则ABC是三角形.图1-5-18解析：点C在AB上的射影为D,CDAB.ADC=90.又AC2=ADAB,.又A为公共角,ACDABC.ACB=ADC=90.答案:直角13.如图1-5-19,已知CF是ABC的边AB上的高,FPBC,FQAC,求证:CQP=B.图1-5-19证明:CF是ABC的边AB上的高,CFAB.在RtACF中,FQAC,CF2=CQCA.在RtBCF中,FPBC,CF2=CPCB.CQCA=CPCB.,PCQ=ACB.PCQACB.CQP=B.14.如图1-5-20,已知ABC中,ACB=90,CDAB于D,以BD为直径的O交BC于E,求证:=.图1-5-20证明:连结DE,BD是O的直径,DEB=90.ACB=90,DEAC.=.由射影定理BC2=BDAB,AC2=ADAB,=.=.15.如图1-5-21,已知ABC中,BD、CE是高,EHBC于H,交BD于G,交CA的延长线于M,求证:HE2=HGMH.图1-5-21证明:CEBE,EHBC,由射影定理EH2=BHCH.GBH+HCM=90,M+HCM=90,GBH=M.又BHG=MHC,BHGMHC.BHHC=HGMH.HE2=HGMH.
