1、教学设计12.1排列教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学
2、生严格按原理去分析问题只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义上来说
3、是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力重点难点教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系活动设计：教师提问，学生补充活动成果：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一
4、类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一
5、步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：分清要完成的事情是什么；是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小
6、组交流，请同学发言、补充活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容设计意图：通过三个具体的实例引入新课提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结活动成果：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：(
7、1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一
8、天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3
9、26种，如右图所示设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法由分步乘法计数原理共有：43224种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“
10、个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有43224种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示由此可写出所有的三位数：
11、123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法提出问题4：由以上两个问题我们发现：A326，A43224，你能否得出A的意义和A的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结活动成果：由A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排
12、列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n1)种填法，An(n1)设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A，A吗？活动设计：学生自己推导，学生板演活动成果：求A可以按依次填3个空位来考虑，An(n1)(n2)，求A可以按依次填m个空位来考虑：An(n1)(n2)(nm1)，由此可以得到排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(m，nN，mn)说明：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；(2)全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：An(n1)(n2)21
13、n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.所以An(n1)(n2)(nm1).设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不
14、同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论教师巡视，找同学说出答案和理由活动成果：(1)是(2)不是(3)是(4)是(5)不是(6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义设计意图：加深对排列和排列数的理解例1解方程：3A2A6A.思路分析：利用排列数公式求解即可解：由排列数公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3
15、x217x100，解得x5或x，x3，且xN，原方程的解为x5.点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，nN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围【巩固练习】1解不等式：A6A.2求证：(1)AAA(2)135(2n1)解答或证明：1.解：原不等式即6，也就是，化简得：x221x1040，解得x13，又2x7，且xN，所以，原不等式的解集为3,4,5,6,72证明：(1)AA(nm)！n！A，原式成立(2)135(2n1)右边，原式成立点评：公式An(n1)(n2)(nm1)常用来求值，特别是m，n均为已知时；公式A常用来证明或化简【变练演编】化简：(
16、1)；(2)11！22！33！nn！.(1)解：原式1！1.(2)提示：由(n1)！(n1)n！nn！n！，得nn！(n1)！n！，原式(n1)！1.【达标检测】1计算：(1)A；(2).2若A17161554，则n_，m_.3若nN*，且55n69，则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示为_答案：1.(1)720(2)52.17143.A1知识收获：排列概念、排列数公式2方法收获：化归3思维收获：分类讨论、化归思想【基础练习】1若x，则x()AABACADA2与AA不等的是()AA B81A C10A DA3若A2A，则m的值为()A5 B3 C6 D74计算：_；_.【
17、拓展练习】5若242，则m的解集是_6(1)已知A1095，那么m_；(2)已知9！362 880，那么A_；(3)已知A56，那么n_；(4)已知A7A，那么n_.答案：1.B2.B3.A4.115.2,3,4,5,66(1)6(2)181 440(3)8(4)7本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题在这类问题使用住店处理的策略中，
18、关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数(设计者：殷贺)第二课时教学目标知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体
19、会“化归”的数学思想情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问活动成果：解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
20、：A54360，所以，共有60种不同的送法(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125，所以，共有125种不同的送法本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式提出问题2：请同学们再回顾一下排列的概念和排列数公式活动设计：学生一起回答，教师板书活动成果：从n个不同元素中
21、，任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列设计意图：复习排列概念
22、和排列数公式，为本节课的学习奠定基础类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列因此，比赛的总场次是A1413182.点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(mn)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题【巩固练习】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信
23、号有A种；第二类用2面旗表示的信号有A种；第三类用3面旗表示的信号有A种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：AAA33232115，即一共可以表示15种不同的信号【变练演编】将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有NAA576.即共有576种
24、不同的分配方案类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A种选法(如图)根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为AA998648.解法二
25、：如图所示，符合条件的三位数可分成3类每一位数字都不是0的三位数有A个，个位数字是0的三位数有A个，十位数字是0的三位数有A个根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为AAA648.解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在百位上的排列数是A，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是AA109898648.点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以
26、及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题【巩固练习】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：(从特殊位置考虑)AA136 080；解法二：(从特殊元素考虑)
27、若选：5A；若不选：A，则共有5AA136 080种；解法三：(间接法)AA136 080.【变练演编】A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A种排法，另一个不在两端的位置上有A种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA24种不同的排法若A、B不排在中间，则有A种排法，C不排在中间有A种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA8种不同的排法根据分类加法计数原理，共有24832种不同的排法解法二：若C排
28、在两端，有A种排法，另一端从D、E中选一个人，有A种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA24种不同的排法若C不排在两端，有A种排法，两端排列D、E，有A种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA8种不同的排法根据分类加法计数原理，共有24832种不同的排法【达标检测】1一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?2一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？36个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有 ()A30种
29、B360种C720种D1 440种答案：1.A87651 6802.A4321243.C1知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算2方法收获：“化归”的数学思想方法3思维收获：“化归”的数学思想方法【基础练习】1从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有_种不同的种植方法2从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3
30、名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有_种不同的方法3信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有_种4由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？答案：1.242.603.6解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A种，故符合题意的偶数有AAA36个解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A个，减去其中奇数的个数AA个，再减去偶数中大于50 000的数AA个，符合题意的偶数共有：AAAAA36个
31、【拓展练习】5一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？解答：若数学排在第一节，班会课的排法为A种，其余4节课的排法有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A种，数学课的排法有A种，班会课的排法为A种，其余3节课的排法有A种，根据分步乘法计数原理，共有AAAA108种根据分类加法计数原理得，共有48108156种本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程本节课的设计特点是：教师的
32、问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例1(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是()A36种 B120种 C720种 D1 440种(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()AAA BAAAACA DAAAA(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A720种排法，选C.(2)答案：C(3)看成一排，某2个元素
33、在前半段四个位置中选排2个，有A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A种，其余5个元素任排在5个位置上有A种，故共有AAA5 760种排法(设计者：殷贺)第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排
34、(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A5 040.(2)根据分步乘法计数原理：76543217！5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A种；第二步余下的5名同学进行全排列有A种，所以，共有AA240种排列方法(5)第一步从(除去甲、乙)其余
35、的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A种方法，所以一共有AA2 400种排列方法类型一：捆绑法例1 7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法所以这样的排法一共有AA1 44
36、0种(2)方法同上，一共有AA720种(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法所以这样的排法一共有AAA960种解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A2A)A960种解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置
37、选择共有A种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有AAA960种(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，一共有排法种数：AAA288种点评：对于相邻问题，常用“捆绑法”(先捆后松)【巩固练习】某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，丙厂2台不同的
38、电视机“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A种排法，共有AAAA2 880种不同的排法【变练演编】7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有AAA1 200种不同的排法(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有AAA960种不同的排法类型二：插空法例2
39、 7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)AAA3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有AA3 600种方法(2)先将其余四个同学排好有A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A种方法，所以一共有AA1 440种方法点评：对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)【巩固练习】5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：(1)男女相间；
40、(2)女生按指定顺序排列解：(1)先将男生排好，有A种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空”(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A种排法，故本题的排法有N2AA28 800种(2)方法1：NA30 240；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法故本题的排法为NA130 240种【变练演编】5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，
41、得A，5男之间排列有顺序问题，得A，共AA种(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得AAA.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得AA.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得AA.【达标检测】1记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A1 440种 B960种C720种 D480种2把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是()AA BAACAAA D以上都不对3某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新
42、节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A42 B96C48 D124答案：1.B2.C3.A1知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式2方法收获：捆绑法、插空法3思维收获：化归思想、分类讨论思想【基础练习】16人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，则不同的排法种数为()A12 B24C48 D1442由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有_个()A9 B12C24 D213用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为()A3 B30C72 D184将5名志愿者分配到3个不同的
43、奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为()A540 B300C180 D150答案：1.C2.D3.B4.D【拓展练习】5有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定答案：(1)241 920(2)10 080(3)5 760(4)2 880(5)60 480本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方
44、法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有_解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，有A24种排法二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_种不同的插法(具体数字作答)解析：AAAAA504种例2高三(1)班学生要安排
45、毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是_解析：不同排法的种数为AA3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行那么安排这6项工程的不同排法种数是_解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空”中，可得有A20种不同排法例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的
46、编排总数为_种解析：AAAAA990种例5 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A，*，在四个“空”中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都有空位的排法有AA24种解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空”，*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A24种注：题中*表示元素，表示空例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任
47、选一个，将空位置插入有A种方法，所以共有AA种方法(设计者：殷贺)附：12.1排列第二课时1教学内容分析本节课主要研究排列数的概念、公式及其应用从教材体系来看，排列数是继两个基本原理之后的又一重要概念，在实际生活中应用十分广泛本节课的主要学习任务是通过实例抽象出排列数的概念及公式，在此基础上探究排列数公式的应用，使学生体会类比归纳、转化化归的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力2学生学习情况分析学生在前一节课已经学习了排列的概念、对是否为排列问题也有了初步认识，为排列数的引入提供很好的背景从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，本节课还要初步体会研究排
48、列问题的一般方法因而本节课教学的难点是：排列数公式的准确掌握和灵活运用3设计思想与方法本节课依据新课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的特点，要有计划有目标地预设活动，充分利用计算机课件和实物投影等辅助教学手段，制作课件，改变相关内容的呈现方式，增加课堂容量同时还要不断调整自己的教学行为，顺应学生真实精彩的动态生成加深对主要知识的记忆，理清知识间的逻辑关系，形成知识体系建构主义学习理论指出：知识的获得不是教师传授的结果，而是学生自身意义建构的过程，因此，教与学模式应是充分调动学生积极主动地参与整个学习过程，通过探究合作，资料收集，动手操作等学习方式达到个人的意义建构因此，
49、本节课采用“自主学习与创新能力培养相结合”的教学模式教学目标依据课程标准要求，结合学生的认知水平和特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能1掌握排列数及其公式的推导过程；2掌握排列数公式的计算；3掌握如何利用排列数公式及基本原理解决实际问题过程与方法1正确理解排列数的概念及排列数公式，能够运用这一公式进行计算2掌握利用排列数公式解决实际问题的方法3通过排列数公式的应用，培养学生的创新和应用意识情感、态度与价值观1通过排列数概念引入过程，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索，促进学生探究问题、分析与解决问题的能力的提高2通过排列数公式的证明及应用，体会类比归纳、转化化归的数学思想和方法
50、，进一步培养学生的探索精神和抽象概括以及推理论证的能力重点难点教学重点：(1)排列数公式的推导(2)体会研究排列问题的一般方法突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境概念引入应用；(二)过程与方法线：特殊到一般、探索归纳概念引入探索等转化到应用；(三)能力线：观察、探索能力类比的数学思想解决问题的能力灵活运用能力及严谨态度教学难点：排列数公式的准确掌握和灵活运用突破难点手段：“抓两点，破难点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，无论是排列数的定义还是公式
51、，都要学生在类比的基础上通过主动探究来发现，从中培养学生的抽象概括能力、推理论证能力，教师给予适当的点拨和指导回顾排列的概念、特征、判断是否为排列问题的依据在现实生活中我们不仅仅关注是否为排列问题，而且还关注所有不同排列方法的种数，及所有排列的个数问题，这一节课我们就来探讨和研究这一问题问题：从a、b、c三个不同的元素中任取两个，一共有多少不同的排列个数？从四个不同的元素中任取两个呢？从n个不同的元素中任取两个呢？从n个不同的元素中任取m个呢？为了问题表述的方便，引入一个新概念排列数设计意图：运用学生熟悉的概念和问题为背景，知道数学知识是有其客观背景和现实意义的，引导思考，激发学习兴趣，产生研
52、究的愿望排列数定义：排列数定义：从n个不同元素中任取m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.注：m、n应满足的条件(1)m，nN*(2)mn(3)A表示的是一个数设计意图：培养学生的洞察力、辨别力，训练学生思维的概括性、严谨性、准确性(1)排列数公式回顾刚才的四个问题：问题的排列数是多少，如何用符号表示？A326问题的排列数是多少，如何用符号表示？A4312问题的排列数是多少，如何用符号表示？An(n1)问题的排列数是多少，如何用符号表示？A？请同学们思考前3个问题的推导过程，想一想：从n个不同的元素中任取3个的排列数是多少？能否用类似的方法推导出
53、A？设计意图：教学活动中教师只是引领者，而学生才是学习活动的主体，要让学生成为学习的研究者，就要创造探究机会，让学生不断地体验成功，激发热情，教师点拨使之更快获得新知(2)排列数公式的推导用占位法(框图)分析：第1位第2位第3位第m位n种(n1)种(n2)种(nm1)种解：分m个步骤完成：第一步确定第一个位置上的元素：有n种方法；第二步确定第二个位置上的元素：有(n1)种方法；第三步确定第三个位置上的元素：有(n2)种方法；第m步确定第m个位置上的元素：有n(m1)(nm1)种方法，即An(n1)(n2)(nm1)排列数公式(m，nN*，且mn)设计意图：知识的获得是学生自身意义建构的过程，要
54、让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，使知识的获得和能力的培养有机地结合在一起揭示规律：公式结构特点：(1)第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1；(2)最后一个因数是nm1；(3)共有m个因数特别地，当mn时，A的含义：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列那么A？(学生回答)An(n1)(n2)321，用n！(n的阶乘)表示概念分析：(1)阶乘符号“！”借用标点符号，表示感叹，意味着随着n的不断增大，n！的值增加得令人惊奇得快这个符号很形象、贴切.1！2！3！4！5！6！12624120720(2)排列数公式的推导是“构造”框图，利用
55、占位法来解决的，框图是一种简单的数学建模，学习时要引起重视(3)排列数公式能否用阶乘的形式表示为：A？An(n1)(n2)(nm1)思考：mn时，如何规定使上式成立规定0！1.设计意图：对概念进行深层次的辨析，使学生不仅知其然更要知其所以然例1计算：(1)A(2)A答案：(1)210(2)360变式：A171819，则n？m？设计意图：掌握排列数公式的简单运算，以及解决问题的逆向思维例2 2008年中超联赛共有16个队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：任意两队进行一次主场与一次客场比赛，相当于从16个元素中任取两个元素的一个排列因此，比赛的总场次为A16152
56、40.反思：审题是否为排列问题，如果是，再考虑在这个问题里：(1)n个不同元素指什么？(2)m个不同元素指什么？(3)从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列，对应着什么事情？(4)要充分利用“位置”或“框图”进行分析，这样更直观，容易理解设计意图：培养学生将实际问题抽象为基本的数学模型的能力及转化化归的意识例3(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A543
57、60，所以，共有60种不同的送法(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125，所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算设计意图：培养学生审题意识，注意对问题的区别及基本原理的应用例4用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用分步乘法计数原理：(特殊位置)所求的三
58、位数的个数是：AA998648.解法2：(特殊元素)符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A个，个位数字是0的三位数有A个，十位数字是0的三位数有A个，由分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数是：AAA648.解法3：(间接法)从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中以0为排头的排列数为A，因此符合条件的三位数的个数是AA648.说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1、解法2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏设计意图：培养学生从多层次、多角度认识、思考问题，揭示解决有限制条件的排列问题的一般方法1知识方面(1)排列数的概念、公式及应用；(2)解排列应用题可以从元素或位置出发进行分析，结合框图去解决，或利用间接法求解，同时注意基本原理的运用2思想方法(1)类比归纳(2)转化与化归的思想设计意图：使学生对整节课所讲内容进行梳理、升华，培养其归纳概括能力，通过小结，使之更加全面深刻地理解本节课的知识、技能及方法，同时也为下一节做好铺垫(设计者：李峰，本教学设计获滨州市说课比赛一等奖)
