1、第1课时平面向量及其应用课后训练巩固提升1.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.答案:A2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量12a-32b等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:12a=12,12,32b=32,-32,故12a-32b=(-1,2).答案:D3.如图所示,向量OA=a,OB=b,OC=c,A,B,C在一条直线上,且AC=-3CB,
2、则()A.c=32b-12aB.c=32a-12bC.c=-a+2bD.c=a+2b解析:由AC=-3CB,可得OC-OA=-3(OB-OC),则OC=32OB-12OA=32b-12a,故选A.答案:A4.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.43B.1+3C.1D.1+32解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及C=60,得c2=a2+b2-ab,又(a+b)2-c2=4,a2+b2-c2+2ab=4,ab=43.答案:A5.在ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则ABAC等于()A.-32B.-23C.
3、23D.32解析:在ABC中,cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=9+4-10232=14,ABAC=|AB|AC|cosBAC=3214=32.答案:D6.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于.解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-12,所以ab=-1-12+21=52.答案:527.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.解析:由正弦定理asinA=bsinB,得732=2sinB,
4、所以sinB=217.由余弦定理,cosA=b2+c2-a22bc,得12=4+c2-74c,所以c=3.答案:21738.已知菱形ABCD的边长为a,DAB=60,EC=2DE,则AEDB的值为.解析:(方法一:用基底表示)EC=2DE,DE=13DC.菱形ABCD的边长为a,DAB=60,|DA|=|DC|=a,DADC=|DA|DC|cos120=-12a2.DB=DA+DC,AEDB=(AD+DE)(DA+DC)=AD+13DC(DA+DC)=-DA2+13DC2-23DADC=-a2+13a2+13a2=-a23.(方法二:建系,用坐标表示)分别以AC,BD所在直线为x,y轴,建立平
5、面直角坐标系.则A-32a,0,B0,-12a,C32a,0,D0,12a,E36a,13a.AE=233a,13a,DB=(0,-a).AEDB=-a23.答案:-a239.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=3acos B.(1)求B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)bsinA=3acosB,sinBsinA=3sinAcosB.A为ABC的内角,sinA0,tanB=3,0B,B=3.(2)sinC=2sinA,c=2a.由(1)知B=3,b2=a2+c2-2accosB,a2+(2a)2-2a2a12=9,a=3,c=2
6、3.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos=ab|a|b|=-643=-12.因为0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)因为AB与BC的夹角=23,所以ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以SABC=12|AB|BC|sinABC=124332=33.
