1、课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】 如右图所示，在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=a,=b,以a,b为基底表示、.思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=b，这样可表示，又 =b，这样又可表示，进一步可表示MH，进一步表示.解：由于BF=BC=AD.=b.在ABF中,=+=a+b;又BF=MC=BC，FM=BC.=b.则=+=a+b+b=a+b.又AH=HD，=b.=-=b-(a+b)=-a-b.又HD=b,=-a-b+b=-a+b.温馨提示 根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向
2、量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】 设两非零向量e1和e2不共线.（1）如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1,-e2),求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e1,e2看作一组基底表示我们需要的向量，如，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量ke1+e2,e1+ke2都是用基底e1,e2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（ke1+e2）=(e1+ke2),解出k值即可.（1）证
3、明：=e1+e2,+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,、BD共线.又有公共点B，A、B、D三点共线.（2）解：ke1+e2与e1+ke2共线，存在使ke1+e2=(e1+ke2),则（k-）e1=(k-1)e2.由于e1与e2不共线，只能有则k=1.温馨提示 题目中已给出一组基底e1,e2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e1,e2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】 如果e1、e
4、2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ）A.若实数1 、2使1e1+2e2=0,则1=2=0B.空间任一向量a都可以表示为a=1e1+2e2,其中1、2RC.1e1+2e2不一定在平面内，1、2RD.对于平面内任一向量a，使a=1e1+2e2的实数1、2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A正确；B错，这样的a只能与e1,e2在同一平面内，不能是空间任一向量.C错，1e1+2e2在内.D错，这样的1,2是唯一的，而不是无数对，故选A.答案：A温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e1,e2是同一平面内的两个不共线向量；（2）基底的选取不唯一；（3）该平面
5、内的任意向量a都可用e1,e2线性表示，而且这种表示是唯一的.各个击破类题演练1如右图所示，已知梯形ABCD中，ADBC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD，设=a,=b，以a、b为基底表示、.解：ADBC且AD=BC，=b,=b.=,=b，+=-+(+)=-+=-b-a+b=b-a，=-=-b-(b-a)=-b+a.变式提升1如右图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.解：设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得：=b，=a.从ABN和ADM中可得：2-,得a=(2d-c).2-,得b=(2c-d).即：=(2d-
6、c),=(2c-d).类题演练2e1,e2是两个不共线向量，且=2e1+ke2, =e1+3e2, =2e1-e2,若A、B、D三点共线，由k的值为.解析：=+=2e1+ke2-e1-3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2.A、B、D三点共线，存在实数使=,即3e1+(k-4) e2=(2e1+ke2).k=-8.答案：-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是（ ）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D解析：=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2.A、B、D共线.答案：A类题演练3下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）A. B. C. D.解析：平面内向量的基底不唯一，只要在同一平面内，任一组不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量.故选.答案：B变式提升3已知向量a和b不共线，实线x,y满足向量等式（2x-y）a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y的值等于（ ）A.-1 B.1 C.0 D.3解析：由平面向量基本定理得解得所以x+y=1.故选B.答案：B
