1、2007年贵州省普通高等学校招生适应性考试数学（文）考试时间：2007年4月14日下午，120分钟。本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R2 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，V= 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示不的半径 Pn(k)=C一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）在
2、中，角、的对边分别是、，若，则（A） （B） （C） （D）（3）已知且，则等于（A） （B） （C） （D）7（4）已知向量满足，且，则与的夹角为（A） （B） （C） （D）（5）若数列中，且对任意的正整数、都有，则（A） （B） （C） （D）（6）若直线与直线平行，则的值等于（A） 1 （B） （C）1或 （D）或（7）曲线与曲线有（A）相同的焦距 （B）相同的离心率 （C）相同的焦点 （D）相同的准线（8）的展开式中的常数项是（A） （B）15 （C） （D）30（9）函数的最小值是（A） （B） （C） （D）1（10）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使直线与（A）平行 （
3、B）相交 （C）互为异面直线 （D）垂直（11）若不等式对任意的、恒成立，则正实数的最小值为（A）1 （B）4 （C）9 （D）14（12）若是上的减函数，那么的的取值范围是（A） （B） （C） （D）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在题中横线上。（13）的值为 。（14）在一次联欢会上，到会的男生比女生多12人。从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女生的概率为，则参加联欢会的人数共有 人。（15）若实数、满足，则的最大值为 。（16）将正方形沿对角线折成直二面角，给出下列四个结论：；与所成角为；为正三角形；与平面所成角为。其中正确的结论是 （填写结论的序号）。
4、三、解答题：(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17）（本小题满分12分）已知向量且，（）若与是两个共线向量，求的值；（）若，求函数的最小值及相应的的值。（18）（本小题满分12分）杏坛中学组织高二年级4个班的学生到汉方制药厂、贵阳钢厂、贵阳轮胎厂进行社会实践，规定每个班只能在这3个厂中任选择一个，假设每个班选择每个厂的概率是等可能的。（）求3个厂都有班级选择的概率；（）求恰有2个厂有班级选择的概率。（19）（本小题满分12分）已知函数满足，（）求、的值及函数的单调递增区间；（）若对，不等式恒成立，求的取值范围。（20）（本小题满分12分）如图，已知平面平行于
5、三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。（）证明：为异面直线与的公垂线；（）求点与平面的距离；（）求二面角的大小。（21）（本小题满分12分）已知定点，动点满足条件：，点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果。（）求直线的方程；（）若曲线上存在点，使，求的值。（22）（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（）写出与的递推关系式（）；（）求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。2007年贵州省普通高等学校招生适应性考试数学（文）解答本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R2 如果事件A、B相
6、互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，V= 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示不的半径 Pn(k)=C一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）解析：由题知，故选择C。（2）在中，角、的对边分别是、，若，则（A） （B） （C） （D）解析：由正弦定理得，因，故故选择C。（3）已知且，则等于（A） （B） （C） （D）7解析：由且得，故选择C。（4）已知向量满足，且，则与的夹角为（A） （B） （
7、C） （D）解析：，故选择B。（5）若数列中，且对任意的正整数、都有，则（A） （B） （C） （D）解析：由题得，故选择C。（6）若直线与直线平行，则的值等于（A） 1 （B） （C）1或 （D）或解析：由题得，逐一检验，可知只有符合条件，故选择A。（7）曲线与曲线有（A）相同的焦距 （B）相同的离心率 （C）相同的焦点 （D）相同的准线解析：由知这是焦点在轴上的椭圆，由得，即这是焦点在轴上的双曲线，故排除B、C、D，选择A。（8）的展开式中的常数项是（A） （B）15 （C） （D）30解析：由题，故常数项为，故选择B。（9）已知函数，则的值域是（A） （B） （C） （D）解析：由题，在
8、同一坐标系中画出与的图象，由数形结合，可得，故选择C。（10）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使直线与（A）平行 （B）相交 （C）互为异面直线 （D）垂直解析：由题选择D。A错，原因是如；B错，原因是如；C错，原因是如。（11）若不等式对任意的、恒成立，则正实数的最小值为（A）1 （B）4 （C）9 （D）14解析：由题得，故选择C。（12）若是上的减函数，那么的的取值范围是（A） （B） （C） （D）解析：由题得，故选择D。二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在题中横线上。（13）的值为 。解析：（14）在一次联欢会上，到会的男生比女生多12人。从这些人中
9、随机挑选一人表演节目，若选到女生的概率为，则参加联欢会的人数共有 人。解析：设女生有人，由题得。（15）若实数、满足，则的最大值为 。解析：画出平面区域如右图所示，本问题转化为求平面区域上的点到原点的连线的斜率的最大值，由图知（16）将正方形沿对角线折成直二面角，给出下列四个结论：；与所成角为；为正三角形；与平面所成角为。其中正确的结论是 （填写结论的序号）。解析：法1建立空间直角坐标系，通过计算可得正确的结论为。法2，如右图，将空间四边形放置到正方体中，由三垂线定理知正确；由异面直线所成角知，与所成角即直线与所成角，因为正三角形，故与所成角为，所以正确；设，则，故正确；与平面所成角为，故错。
10、三、解答题：(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17）（本小题满分12分）已知向量且，（）若与是两个共线向量，求的值；（）若，求函数的最小值及相应的的值。解析：（），又即。（）当且仅当即时取到等号。故函数的最小值为，此时。（18）（本小题满分12分）杏坛中学组织高二年级4个班的学生到汉方制药厂、贵阳钢厂、贵阳轮胎厂进行社会实践，规定每个班只能在这3个厂中任选择一个，假设每个班选择每个厂的概率是等可能的。（）求3个厂都有班级选择的概率；（）求恰有2个厂有班级选择的概率。解析：（）由题杏坛中学的4个班选择3个厂进行社会实践，可能出现的结果共有种结果，由于这些结果出
11、现的可能性相等，3个厂都有班级选择的可能出现的结果数为，设“3个厂都有班级选择”为事件，则事件的概率为。（）记“恰有2个厂有班级选择”和“恰有1个厂有班级选择”为事件，则。（19）（本小题满分12分）已知函数满足，（）求、的值及函数的单调递增区间；（）若对，不等式恒成立，求的取值范围。解析：（），由得，故或故的单调递增区间为，。（）法1：当变化时，的变化情况如下表1+00+极大值极小值可见，当时，为极大值，而，则为最大值，故要使不等式在时恒成立，只须，即即解得或的取值范围为。 法2： 由（）得即对，不等式恒成立，即不等式恒成立，构造函数，只须，令得和，解不等式得或的取值范围为。（20）（本小题
12、满分12分）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。（）证明：为异面直线与的公垂线；（）求点与平面的距离；（）求二面角的大小。解法一：（）证明：平面平面又平面平面，平面平面平面又为与的公垂线。（）过作于，为正三角形，为中点，平面又平面线段的长即为到平面的距离在等边三角形中，点到平面的距离为。（）过作于，连结由三垂线定理知是二面角的平面角在中，H，所以，二面角的大小为。法二：取中点，连结，易知平面，过作直线交于取为空间直角坐标系的原点，、所在直线分别为如图建立空间直角坐标系，则（），又，由已知，即为与的公垂线。（）设是平面的一个法向量，又，则，即，令，则设所求距离为
13、，点到平面的距离为。（）设平面的一个法向量为，又则则令，则即，设二面角为，又二面角为锐角二面角的大小为。（21）（本小题满分12分）已知定点，动点满足条件：，点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果。（）求直线的方程；（）若曲线上存在点，使，求的值。解：（）点的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，曲线的方程为设，把代入消去得两边平方整理得，（）故直线方程为。（）设，由已知，得将点的坐标代入得或（舍去）。（22）（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（）写出与的递推关系式（）；（）求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解法1：（）由及得即（）由得是首项为1，公差为1的等差数列，故（）当时，；当时，；当时由得；综上得。解法二、（）由及得猜测。用数学归纳法证明如下：（1）时，猜测成立；（2）假设时，命题成立，即，则，即，即时命题也成立。综合（1）、（2）知对于都有所以，故。（），证明见（）。
