1、4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解课标解读课标要求素养要求1.了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的根的关系.2.掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间.1.直观想象能借助函数图像理解函数的零点及方程的解.2.数学运算能求函数的零点以及判断函数零点的个数.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 函数的零点对于一般函数y=f(x) ，我们把 f(x)=0 的实数x 叫做函数y=f(x) 的零点.要点二 函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系函数y=f(x) 的 零点 就是方程f(x)=0 的实数解，也就是函数y=f(x) 的图像与x
2、 轴的公共点 横坐标 .所以方程f(x)=0 有实数解 函数y=f(x) 有零点 函数y=f(x) 的图像与x 轴有公共点.要点三 函数零点存在定理如果函数y=f(x) 在区间a,b 上的图像是一条 连续不断 的曲线 ，且有 f(a)f(b)0 ，那么，函数y=f(x) 在区间(a,b) 内 至少有一个 零点，即存在c(a,b) ，使得 f(c)=0 ，这个c 也就是方程f(x)=0 的解.自主思考1.若函数y=mx2+x-2 没有零点，求实数m 的取值范围.答案：提示 由题意得m0 ，且=1+8m0 ，解得m-18 .2.“函数y=f(x) 在区间a,b 上的图像是一条连续不断的曲线 ，且有
3、 f(a)f(b)0 ”是“函数y=f(x) 在区间(a,b) 内至少有一个零点”的充要条件吗？答案：提示 不是，是充分不必要条件.名师点睛 1.一个函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点必须同时满足：函数f(x) 在区间a,b 上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)f(b)0 .这两个条件缺一不可.可从函数f(x)=1x 来理解，易知f(-1)f(1)=-110 ，但显然f(x)=1x 在(-1,1)内没有零点.2.函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如图和，虽然都有f(a)f(b)0 ，但图中函数在区间(a,b) 内有4个零点，图中函数在区间(a,b) 内
4、仅有1个零点. 3.函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)f(b)0 可以推出函数y=f(x) 在区间(a,b) 内存在零点但是，已知函数y=f(x) 在区间(a,b) 内存在零点，不一定推出f(a)f(b)0 .如图所示，虽然在区间(a,b) 内函数有零点，但f(a)f(b)0 .互动探究关键能力探究点一 函数零点的概念及求法 精讲精练 例 （1）求函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0 的零点；（2）已知函数f(x)=ax-b(a0) 的零点为3，求函数g(x)=bx2+ax 的零点.答案：（1）当x0 时，令x2+2x-3=0 ，解得x=-3 ；当x0 时，令-2+ln
5、x=0 ，解得x=e2所以函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0 的零点为-3和e2 .（2）由已知得f(3)=0 ，即3a-b=0 ，则b=3a ，故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1) .令g(x)=0 ，即ax(3x+1)=0 ，解得x=0或x=-13 .所以函数g(x) 的零点为0和-13 .解题感悟求函数零点的方法（1）代数法：方程f(x)0 的实数根就是函数的零点.（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)0 ，可以将它与函数yf(x) 的图象联系起来图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.迁移应用 1.求下列函数的零点：（1）f(x)=(lgx)2
6、-lgx ；（2）f(x)=x3-2x2-x+2 .答案： （1）令(lgx)2-lgx=0 ，则lgx(lgx-1)=0 ，lgx=0 或lgx=1 ，x=1 或x=10 ，因此函数f(x) 的零点是1和10.（2）令x3-2x2-x+2=0 ，则x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0 ，解得x=-1 或x=1 或x=2 ， 函数f(x) 有3个零点，分别为-1，1，2.探究点二 判断函数零点所在区间 精讲精练 例 已知实数a 满足3a=5 ，则函数f(x)=ax+2x-log53 的零点所在的区间为( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.
7、(0,1)D.(1,2)答案： B解析：根据题意得a=log351 ，则函数f(x)=ax+2x-log53 为增函数，且f(-2)=(log35)-2+2(-2)-log530 ，f(-1)=(log35)-1+2(-1)-log53=-20 ，f(0)=(log35)0+20-log53=1-log530由函数零点存在定理可知函数f(x) 的零点在区间(-1,0)上.故选B.解题感悟1.判断函数零点所在区间有两种方法；一是利用函数零点存在定理，二是利用函数图象.2.若f(x) 的图象在a,b 上连续，且f(a)f(b)0 ，则f(x) 在(a,b) 上必有零点，若f(a)f(b)0 ，则f
8、(x) 在(a,b) 上不一定没有零点.迁移应用 1.函数f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)答案： C解析：因为函数f(x)=ex+x-2 为单调递增函数，且f(0)=e0+0-2=-10 ，所以f(0)f(1)0 ，所以f(x) 在(0,1)内有零点.故选C.探究点三 确定零点的个数 精讲精练 例 判断下列函数零点的个数.（1）f(x)=x2-7x+12 ；（2）f(x)=lnx+x2-3 .答案： （1）令f(x)=0 ，则x2-7x+12=0 ，因为=49-412=10 ，所以方程x2-7x+12=0 有
9、两个不相等的实数根，所以函数f(x) 有两个零点.（2）易得f(1)0,f(2)0 ，则f(1)f(2)0 ，所以f(x) 在(1,2)内有零点，又f(x) 在定义域(0,+) 内是增函数，所以函数f(x) 仅有一个零点.解题感悟判断函数零点个数的方法（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助函数的单调性判断零点的个数； （2）由f(x)=g(x)-h(x)=0 ，得g(x)=h(x) ，在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x) 和y2=h(x) 的图象，利用图象判定方程根的个数，即函数f(x) 的零点个数；（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.迁移应用1
10、.函数f(x)=x+2,x0,x2-1,x0 的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3答案： C解析：方程x+2=0(x0) 的根为x=-2 ，方程x2-1=0(x0) 的根为x=1 ，所以函数f(x) 有2个零点：-2与1.2.实数a,b,c 是图象连续不断的函数y=f(x) 的定义域中的三个数，且满足abc,f(a)f(b)0,f(c)f(b)0 ，则y=f(x) 在区间(a,c) 上的零点个数为( )A.2B.奇数C.偶数D.至少是2答案： D解析：由函数零点存在定理得，y=f(x) 在区间(a,b) 上至少有一个零点，在(b,c) 上至少有一个零点，而f(b)0 ，所以y=f(x)
11、在区间(a,c) 上至少有2个零点.故选D.评价检测素养提升课堂检测1.函数f(x)=ln(4x-1) 的零点为( )A.12 B.14C.(12,0) D.(14,0)答案： A2.函数f(x)=6x-2,x0,x+log612,x0 的零点之和为( )A.-1B.1C.-2D.2答案： A解析：当x0 时，f(x)=6x-2 ，设其零点为x1 ，则满足6x1-2=0 ，解得x1=log62当x0 时，f(x)=x+log612 ，设其零点为x2 ，则满足x2+log612=0 解得x2=-log612 .所以函数零点之和为x1+x2=log62-log612=-1 .故选A.3.函数f(x
12、)=2x+x3-2 的零点个数为 .答案： 1解析： 因为f(0)=1+0-2=-10 ，所以f(0)f(1)0 ，又因为函数f(x)=2x+x3-2 是R 上的增函数，所以函数f(x)=2x+x3-2 的零点个数为1.4.已知函数f(x)=xlog2x-3 的零点为x0 ，若x0(n,n+1),nZ ，则n= .答案：2解析： 由题意得，f(2)=2log22-3=-13log22-3=0 ，所以f(2)f(3)0 ，故n=2 .5.若函数f(x)=x2+x-a 的一个零点是-3，求实数a 的值，并求函数f(x) 其余的零点.答案： 由题意知f(-3)=0 ，即(-3)2-3-a=0 ，解得a=6 ，f(x)=x2+x-6 .令x2+x-6=0 ，解得x=-3 或x=2 . 函数f(x) 其余的零点是2.
