1、江苏省20192020学年高三上学期八校联考数学试卷201910一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A1，B1，5，则AB 答案：1，5考点：集合的运算解析：因为集合A1，B1，5，所以AB1，52i是虚数单位，复数 答案：考点：复数解析：3如图伪代码的输出结果为 S1For i from 1 to 4SS+iEnd ForPrint S答案：11考点：算法初步（伪代码）解析：第一步：S112 第二步：S224第三步：S437 第四步：S74114为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，
2、其频率分布直方图如图所示已知在50，75)中的频数为100，则n的值为 答案：1000考点：频率分布直方图解析：100(0.00425)10005某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 答案：考点：古典概型解析：a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为286已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且，则x的值为 答案：2考点：三角函数的定义解析：由终边上一点P(x，)，得，解得：，是第二象限角，所以x的值为27将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（
3、纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是 答案：考点：三角函数的图像与性质解析：函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y，将所得的图像向左平移个单位得8已知函数，满足，则 答案：7考点：指对数函数解析：当a3时，得a7；当a3时，解得a43（舍）；所以a的值为79已知实数a，b满足，则ab最大值为 答案：考点：基本不等式解析：由得，由基本不等式得，则可发现，解得，所以ab最大值为10已知0，且，则 答案：考点：三角恒等变换解析：因为0，所以20，所以，因为，即 ，所以（负值已舍去） 11直角ABC中，点D为斜边BC中点，AB，AC6，则 答案：1
4、4考点：平面向量数量积解析：以O为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，)，C(6，0)，D(3，)，E(1，)，所以(1，)，(1，)，则1151412已知奇函数满足，若当x(1，1)时，且(0a1)，则实数 答案：考点：函数奇偶性与周期性解析：根据，是奇函数，可得是周期为4的函数，所以 因为0a1，所以01a1，所以，解得13已知a0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是 答案：e考点：导数的几何意义，导数与切线解析：因为，所以， 设曲线和的切点坐标分别为(，)，(，)， 则，可得， 代入上式可得：，构造函数，求得最小 值为0，所以的
5、最大值为e14若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是 答案：或考点：函数与方程解析：原方程可转化为，令，e 当方程有且只有一个根时，或，发现符合题意， 当方程有且只有两个根时，此时或，且两根(0，e)，(，0)，此时，解得，综上实数的取值范围是或二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知集合A，B（1）求集合A； （2）若p：A，q：B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 解：（1）集合即为函数定义域，即需-2分，即即-5分，得 -7分（2）由，-9分则-10分因为p是q的充
6、分不必要条件，所以是的真子集-11分即需得-13分所以实数m的取值范围是-14分16（本小题满分14分） 如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD90，且AB2AD2DC2PD，E为PA的中点（1）证明：DE平面PBC；（2）证明：DE平面PAB证明：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EFAB，DCAB，所以EFDC，-2分 ，且EFDC故四边形CDEF为平行四边形，-4分可得EDCF-5分又ED平面PBC，CF平面PBC，-6分故DE平面PBC-7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD底面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPD又因为
7、ABAD，PDADD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB平面PAD-11分ED平面PAD，故EDAB-12分又PDAD，E为PA的中点，故EDPA；-13分PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED平面PAB-14分17（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c已知cosC（1）若，求ABC的面积；（2）设向量(，)，(，)，且，b，求a的值解（1）由，得abcosC 2分又因为cosC，所以ab 4分 又C为ABC的内角，所以sinC 所以ABC的面积SabsinC3 6分 （2）因为x/y，所以2sincoscosB，即sinBcosB 8分因为co
8、sB0，所以tanB 因为B为三角形的内角，-9分 所以B 10分 所以-12分由正弦定理，-14分18（本小题满分16分） 已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD4米（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧，和弦BC这三部分组成，在弧，上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大图1 图2【解】设， -1分（1），-2分， -3分总热量单位-5分当时，取最大值
9、， 此时米，总热量最大9（单位）.-6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-7分（2）总热量单位，-10分 -11分 令，即，因，所以，-12分当时，为增函数，当时，为减函数，-14分当时，取最大值，此时米.-15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.-16分19（本小题满分16分）设常数R，函数（1）当a1时，判断在(0，)上单调性，并加以证明；（2）当a0时，研究的奇偶性，并说明理由；（3）当a0时，若存在区间m，n(mn)使得在m，n上的值域为，求实数a的取值范围解(1)时，且所以在上递减。-3分法二：，所以在上递减。（2）时满足，为偶函数。-4分 时定义域
10、，且，为奇函数。-6分时，定义域为因，定义域不关于原点对称-7分，因此既不是奇函数也不是偶函数。-8分（3）当时，在和上递减则两式相减得再代入得（*）此方程有解，如因此满足题意。-11分当时，在递增，有题意在上的值域为知即是方程的两根即方程有两不等实根，令即有两不等正根。-13分即需-15分综上-16分20（本小题满分16分）设函数(x0，a，bR)（1）当b0时，在1，)上是单调递增函数，求a的取值范围； （2）当ab1时，讨论函数的单调区间；（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数，使得解：(1) 当时，；因在上是单调递增函数，则，即对恒成立，则 1分而当，故故的取值范围为 3分(2)
11、 当时，当时，令，得，令，得，则 的单调递增区间为，递减区间为； 5分当时，. 令得，或，令得， ，则 的单调递增区间为，递减区间为； 7分当时，当且仅当取“=”. 则的单调递增区间为，无减区间. 8分当时，.令得，或，令得， ，则 的单调递增区间为，递减区间为； 9分当时，令得，令得， ，综上所述，当时，单调递增区间为，递减区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为； 当时，单调递增区间为，无减区间；当时，单调递增区间为，递减区间为； 当时，单调递增区间为，递减区间为，10分(3)先证. 设,则，则在单调递增；，则在单调递减；则，故. 12分取法1：取=，其中为方程的较大根.因=，则，因=，则
12、，故所以对于任意给定的正实数，存在实数，使得 16分取法2：取=，则，则.对于任意给定的正实数，所以存在实数，使得 16分附加题21【选做题】本题包括三小题，每小题10分. 请选定其中两题（将所选题空白框涂黑），并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.选修4 - 2：矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由=， ，解得. 4分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 令，得矩阵的特征值为与3. 6分当时， ，解得矩阵的属于特征值的一个特征向量为; 8分
13、当时， ，解得矩阵的属于特征值3的一个特征向量为. 10分.选修4 - 4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系解：把直线方程化为普通方程为 3分将圆化为普通方程为，即 6分圆心到直线的距离-8分所以直线与圆相切.10分.选修4 - 5：不等式选讲 已知a、b、c是正实数，求证：.法一：因为均为正数，则法二：由2220，得220，.(10分)【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.甲、乙两个篮球运动员互不影响
14、地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.解：（）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为-3分（）由题设和（）知可能的取值为0，1，2，3，-4分故-5分-6分-7分-8分的分布表为0123-9分的数学期望-10分23.设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件： ,； 对任意的,都有（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求解：（1）因为对任意的，都有， 所以；（3分） （2）因为存在，使得， 所以或，设所有这样的为， 不妨设，则（否则）； 同理，若，则，-5分 这说明的值由的值（2或2）确定， 又其余的对相邻的数每对的和均为0， 所以，-7分 （-10分）
