1、专题强化练5运用基本不等式求最值的常用技巧一、选择题1.(2021辽宁六校高一上联考,)若0x12,则y=x1-4x2的最大值为(深度解析) A.1B.12C.14D.182.(2021安徽芜湖一中高一上月考,)已知x52,则y=x2-3x+3x-2有(深度解析)A.最大值1B.最小值1C.最大值3D.最小值33.(2021山西运城高一上10月联考,)已知0x-2)的最大值为.深度解析6.()若a,b均为正实数,且a+b=1,则a+1+b+1的最大值为.7.()若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则2x+y的最小值是.8.()已知OA=aOB+bOC(a0,b0),且A,B,C三点在同一条直
2、线上,则1a+1b的最小值为.三、解答题9.()已知x1,求2x+1x-1的最小值;(2)已知xy0,求x2+4y(x-y)的最小值.11.()某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)为500,y0,且2x2+y23=8,求x6+2y2的最大值.答案全解全析专题强化练5运用基本不等式求最值的常用技巧一、选择题1.C0x0,y=x1-4x2=x2(1-4x2)=124x2(1-4x2)124x2+1-4x22=14,当且仅当4x2=1-4x2,即x=24时,等号成立.方法总结求f(x)g(x)的最值时,常将f 2(x)放入根号内,从而凑成“和为定值”的形式.2.D因为x52,所
3、以x-212,所以y=x2-3x+3x-2=x2-4-3x+6+1x-2=x+1x-2-1=x-2+1x-2+12(x-2)1x-2+1=3,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,等号成立,即y=x2-3x+3x-2有最小值3.方法总结若分式的分子中多项式次数大于或等于分母中多项式次数,则一般使用分离常数法将其转化为积为定值的形式,再利用基本不等式求其最值.3.B14x+11-x=14x+11-x(x+1-x)=x1-x+1-x4x+54,因为0x0,1-x4x0,所以14x+11-x=x1-x+1-x4x+542x1-x1-x4x+54=94,当且仅当x1-x=1-x4x,即x=13时取等号
4、,所以14x+11-x的最小值为94.4.Ca(a+b+c)+bc=a2+ab+ac+bc=(a2+ac)+(ab+bc)=a(a+c)+b(a+c)=(a+b)(a+c)(a+b)+(a+c)22=2a+b+c22=622=32,当且仅当a+b=a+c=62,即b=c时取“=”,a(a+b+c)+bc的最大值为32.故选C.二、填空题5.答案24解析设t=x+2(t0),则x=t2-2,y=t2t2+1=12t+1t122t1t=24,当且仅当t=22,即x=-32时,等号成立.方法总结对于含根号的式子,常先换元,再考虑用基本不等式求最值.换元是为了化繁为简,同时要注意换元后未知量的取值范围
5、.6.答案6解析(a+1+b+1)2=a+1+b+1+2a+1b+13+(a+1)+(b+1)=6,当且仅当a+1=b+1,即a=b=12时,取等号,此时(a+1+b+1)max=6.7.答案12解析解法一:x0,y0,xy=12(2x)y122x+y22=18(2x+y)2,当且仅当2x=y,即x=3,y=6时取等号,2x+y+6=(2x+y)+6=xy18(2x+y)2,(2x+y)2-8(2x+y)-480,令2x+y=t,则t0,且t2-8t-480,(t-12)(t+4)0,t12,即2x+y12,2x+y的最小值是12.解法二:由x0,y0,2x+y+6=xy,得xy22xy+6(
6、当且仅当2x=y时取等号),即(xy)2-22xy-60,(xy-32)(xy+2)0,又xy0,xy32,即xy18,xy的最小值是18,2x+y=xy-6,2x+y的最小值是12.8.答案4解析由三点共线可得a+b=1,则1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab,因为ba和ab的积为定值,所以利用积定和最小法则可得ba+ab2baab=2,当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号,所以1a+1b=2+ba+ab4.三、解答题9.解析x0,y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2(5-4x)15-4x+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号
7、成立,故当x=1时,y取最大值,ymax=1.10.解析(1)因为x1,所以x-10,所以2x+1x-1=2(x-1)+1x-1+222(x-1)1x-1+2=2+22,当且仅当2(x-1)=1x-1(x1),即x=1+22时,等号成立,故2x+1x-1的最小值为2+22.(2)因为xy0,所以x-y0,所以0y0,即x=2,y=1时,等号成立,故x2+4y(x-y)的最小值为8.11.解析设每天获得的利润为y元,则y=(x-50)P=105(x-50)(x-40)2.令x-50=t,则t0,x=50+t,则y=105t(t+10)2=105tt2+20t+100=105t+100t+201052t100t+20=10520+20=2 500,当且仅当t=100t,即t=10,亦即x=60时,y取得最大值2 500.故销售价格每件应定为60元.12.解析因为(x6+2y2)2=x2(6+2y2)=32x21+y2332x2+1+y2322=3922=2434,当且仅当2x2=1+y23,即x=32,y=422时,等号成立,所以x6+2y22434=932,故x6+2y2的最大值为932.
