1、返回目录 圆锥曲线与方程第二章返回目录 2.1 椭 圆2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)返回目录 课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业返回目录 课前教材预案要点一 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程_范围_x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)axa且byb bxb且aya 返回目录 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上顶点_轴长短轴长：_ 长轴长：_焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|_对称性对称轴：_，对称中心：_离心率e_A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，
2、B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)2b 2a 2c x轴和y轴(0,0)ca(0e1)返回目录 1当椭圆的离心率越_，则椭圆越扁 2当椭圆的离心率越_，则椭圆越圆 要点二 椭圆的离心率与椭圆扁圆程度间的关系接近于1 接近于0 返回目录 由椭圆方程讨论其简单几何性质的注意点 已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a，短轴长是2b 课堂深度拓展考点一 已知椭圆方程研究其简单几何性质返回目录【例题1】(2018广西南宁调研
3、)求椭圆9x225y2225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆 思维导引：化成标准方程 得a，b的值 求相关性质画出第一象限内椭圆的图象 画出整个椭圆解析 将椭圆的方程化为标准形式得x225y291，得 a5，b3，则 c 2594.因此，长轴长 2a10，短轴长 2b6，离心率 eca45.焦点为 F1(4,0)和 F2(4,0)，顶点 A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，3)，B2(0,3)返回目录 将方程变形为 y35 25x2(5x5)，根据 y35 25x2(0 x5)可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：x0123
4、45y32.942.752.41.80先描点，再用光滑的曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限内的图象，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图)返回目录【变式 1】已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e 32，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解析 椭圆方程可化为x2m y2mm31，m mm3mm2m3 0，m mm3.a2m，b2 mm3，c a2b2mm2m3.由 e 32 得m2m3 32，m1.返回目录 椭圆的标准方程为 x2y2141，则 a1，b12，c 32.椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，两焦点坐标分别为F1 32，0，F232，0，四个顶点分别
5、为A1(1,0)，A2(1,0)，B10，12，B20，12.返回目录 已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤：(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标准方程的形式；(2)建立关于a，b，c之间的关系式或方程(组)，解出a，b的值；(3)写出椭圆的标准方程 考点二 已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程返回目录【例题 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是 6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在 x 轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为 6.思维导引：确定焦点位置 设标准方程 求出a2，b2 写出标准方程返回目录 解析(1)设椭圆的方
6、程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得 2a6，a3，a29.又 eca23，c2，b2a2c2945.椭圆的标准方程为x29y251 或y29x251.返回目录(2)由题意可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，且两焦点为 F(3,0)，F(3,0)如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，b29，a2b2c218.椭圆的标准方程为x218y291.返回目录【变式 2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 A(2,3)；(2)短轴的一个端点与两焦
7、点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.解析(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设标准方程为 x24b2y2b21(b0)椭圆过点 A(2,3)，1b2 9b21，解得 b210，方程为x240y2101.返回目录 若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 y24b2x2b21(b0)椭圆过点 A(2,3)，94b2 4b21，解得 b2254，方程为y2254x2251.综上所述，椭圆的标准方程为x240y2101 或y2254x2251.(2)由已知条件可得a2c，ac 3，则a2 3，c 3，从而 b29，又焦点所在坐标轴无法确定，故所求椭圆的标准方程为x212y291 或x29y2
8、121.返回目录 考点三 椭圆的离心率求椭圆离心率常用的两种方法(1)求出 a，c，再求比；(2)列出含有 a，c 的齐次方程，再利用 eca转化为关于 e 的方程，解方程即可，此时要注意 0eb0)的三个顶点 B1(0，b)，B2(0，b)，A(a,0)，焦点 F(c,0)，且 B1FAB2，求椭圆的离心率思维导引：依题意得到关于 a，b，c 的关系式，再转化成关于ca即 e 的方程，即可求得椭圆的离心率返回目录 解析 直线 B1F 的斜率为 kB1Fbc，直线 AB2 的斜率为 kAB2ba.B1FAB2，kB1FkAB21，即a2c2ac1，a2c2ac1，acca1，即1ee1，e2e
9、10，解得 e 512或 e 512.0eb0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为_.122 75返回目录 解析(1)显然 c2，由椭圆定义可得 2a 2223238，a4，从而离心率 eca2412.(2)设 F(c,0)，则 c2a2b2.由题意，得直线 A1B2 的方程为 xayb1，直线 B1F的方程为xc yb1.将两个方程联立，解得 T2acac，bacac，则 Macac，bac2ac.又点 M 在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，c2ac2 ac24ac21，整理，得 c210ac3a20，即 e210e30，解得 e2 75 或 e2 75(舍去)返回目录 课末随堂演练返回目录 课后限时作业
