1、课时素养检测十四余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A.110米B.112米C.220米D.224米【解析】选A.如图,令CD为金字塔,AB=80米.设CD=h米,则由已知得(80+h)=h,h=40(+1)109(米).从选项来看110米最接近.2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40 m
2、,则电视塔的高度为()A.10 mB.20 mC.20 mD.40 m【解析】选D.设AB=x m,则BC=x m,BD=x m,在BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120,所以x2-20x-800=0,所以x=40(m).3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是()A.5 mB.10 mC.5 mD.10 m【解题指南】在BCD中,由正弦定理求出BC在RtABC中求得AB.【解析】选B.在BCD中,CD=10,BDC=45,B
3、CD=15+90=105,DBC=30,由正弦定理,得=,BC=10.在RtABC中,tan 60=,AB=BCtan 60=10(m).4.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2 500(-1) mB.5 000 mC.4 000 mD.4 000 m【解析】选A.如图,BAC=30,DBC=75,AB=10 000,所以ACB=45.由正弦定理,得=,又cos 75=,所以BD=cos 75=2 500(-1)(m).5.如图,为测量出山高MN,选择A和另一
4、座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75,从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN为()A.100 mB.150 mC.200 mD.250 m【解析】选B.在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AC=100 m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45由正弦定理得=,因此,AM=100 m.在RtMNA中,AM=100 m,MAN=60,由=sin 60,得MN=100=150 m.二、填空题(每小题5分,共10分)6.如图所示为一角槽,已知ABAD,ABBE,并测量得AC=3 mm,
5、BC=2 mm, AB= mm,则ACB=_.【解析】在ABC中,由余弦定理的推论得cosACB=-.因为ACB(0,),所以ACB=.答案:7.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200 m,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30,且CBD=30,则塔高AB=_m.【解析】在RtABC中,ACB=45,设AB=h m,则BC=h m,在RtABD中,ADB=30,所以BD=h m,在BCD中,CBD=30,CD=200 m,由余弦定理可得40 000=h2+3h2-2hh,所以h=200,所以塔高AB=200 m
6、.答案:200三、解答题(每小题10分,共20分)8.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(+30)的方向沿直线前往B处营救,求sin 的值.【解析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=100+36-2106=196,所以BC=14,由正弦定理得=,即=,解得sin C=,所以sin =.9.如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4 m的两点A,B,在
7、A处测得旗杆底部C在西偏北20的方向上,旗杆顶部D的仰角为60;在B处测得旗杆底部C在东偏北10方向上,旗杆顶部D的仰角为45,求旗杆CD高度.【解析】设CD=x,在RtBCD,CBD=45,所以BC=x,在RtACD,CAD=60,所以AC=,在ABC中,CAB=20,CBA=10,所以ACB=180-20-10=150,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150,又AB=4,即(4)2=x2+x2+2x=x2,解得x=12.所以旗杆高12米.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某人在C点测得
8、某塔在南偏西80,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A.15米B.5米C.10米D.12米【解析】选C.如图,设塔高为h,在RtAOC中,ACO=45,则OC=OA=h.在RtAOD中,ADO=30,则OD=h,在OCD中,OCD=120,CD=10,由余弦定理,得OD2=OC2+CD2-2OCCDcosOCD,即(h)2=h2+102-2h10cos 120,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45,
9、沿点A向北偏东30前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.如图,设水柱的高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC= h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50 m.3.(多选题)一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向
10、上,另一灯塔在船的南偏西75方向上,此时离最近的灯塔为a n mile,设这艘船的速度是每小时v n mile,则()A.a=5B.a=10C.v=10D.v=10【解析】选BC.如图,依题意有BAC=60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10,在RtABC中,求得AB=5,BC=5,所以这艘船的速度是=10(n mile/h),即v=10.4.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆与桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为,若AB=m,则CD=()A.B.C.D.【解析】选D.在A
11、BC中,由正弦定理,可得=,可得BC=,在BCD中,由正弦定理,可得=,CD=BC=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.两船同时从A港出发,甲船以每小时20 n mile的速度向北偏东80的方向航行,乙船以每小时12 n mile的速度向北偏西40方向航行,一小时后,两船相距_n mile.【解析】如图,ABC中,AB=20,AC=12,CAB=40+80=120,由余弦定理,得BC2=202+122-22012cos 120=784,所以BC=28(n mile).答案:286.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,
12、则坡底要延伸_m.【解析】如图,在ABC中,由正弦定理,得=,所以x=10(m).答案:10三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计),上午11时,测得一轮船在岛北偏东30方向,俯角为30的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60方向,俯角为60的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?【解析】(1)在RtPAB中,APB=60,AP=1,所以AB=APtan 60=.在RtPAC中,APC=30,所以AC=APtan 30=.在ACB
13、中,CAB=30+60=90,所以BC=.则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos 30-cosACBsin 30=-=.由正弦定理得=,所以AD=.故此时船距岛A有千米.8.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东60的航向再行驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?【解题指南】(1)在ABP中,根据正弦定理,求
14、BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CPAB,从而可得出结论.【解析】(1)在ABP中,AB=30=20,APB=30,BAP=120,根据正弦定理得:=BP=20,在PBC中,BC=30=20,由已知PBC=90PC=40.(2)在PBC中,PBC=90,BC=20,PC=40,所以sinBPC=,所以BPC=30.因为ABP=BPC=30,所以CPAB.所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.【补偿训练】位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45+ (045)的C处,AC=5.在离观测站A的正南方某处E,cosEAC= -. (1)求cos .(2)求该船的行驶速度v(海里/小时).【解题指南】(1) 先根据同角三角函数关系得sinEAC,再根据=-EAC,并利用两角差余弦公式得结果.(2)根据余弦定理求BC,再除以时间得速度.【解析】(1)因为cosEAC=-,所以sinEAC=,cos=cos=coscosEAC+sinsinEAC=-+=.(2)利用余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcos=125,所以BC=5,该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里,该船的行驶速度v=15(海里/小时).
