1、专题四立 体 几 何 第一讲空间几何体(选择、填空题型)1(2014福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱B圆锥C四面体 D三棱柱解析：选A圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱2(2014重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12B18 C24D30解析：选C此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为656324，选C.3(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90
2、cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2解析：选D由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积SS1S正方形S22S3S斜面，其中S1是长方体的表面积，S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S3是三棱柱的一个底面的面积，则S(463634)2333424353138(cm2)，选D.4(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2
3、为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A、B、C，选D.5(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则62h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为62212.答案：121一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”
4、2常见的一些简单几何体的表面积和体积公式(1)圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)；(2)圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)；(3)圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)；(4)柱体的体积公式：VSh(S为柱体的底面面积，h为高)；(5)锥体的体积公式：VSh(S为底面面积，h为高)；(6)台体的体积公式：V(SS)h(S、S分别为上、下底面面积，h为高)；(7)球的表面积和体积公式：S4R2，VR3(R为球的半径)热点一空间几何体的三视图命题角度(1)考查由三视
5、图还原空间几何体，如T1；(2)考查由空间几何体或空间的部分视图判断其他视图，如T2.1(2014新课标全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱2(2014湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和 D和3(2014湖南十校联考)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.B.C.D1自主解答1.由题
6、知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.2在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为，俯视图为.3由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1sin 60，所以侧视图的面积为S，选C.答案1.B2.D3.C分析空间几何体的三视图的要点(1)根据俯视图确定几何体的底面；(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置；(3)确定几何体的形状，即可得到结
7、果热点二空间几何体的表面积与体积命题角度(1)考查由三视图求空间几何体的表面积，如T1；(2)考查由三视图求空间几何体的体积，如T2；(3)考查空间几何体的表面积或体积，如T3.1(2014安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D182(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.3(2014山东高考)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.自主解答1.由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部
8、分，其表面积为S6462()221.2该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱因为V圆锥222，V圆柱1244，所以该几何体体积V4.3.如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2Sh，V1VEADBShSh，所以.答案1.A2.3. 若题1条件不变，求此多面体的体积解：由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V82111. 1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易
9、求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解热点三线、面位置关系与命题真假判断命题角度空间位置关系的考查，多以判断命题真假的形式出现：(1)考查线、面平行的判定及其性质的应用，如T1；(2)考查线、面垂直的判定及其性质的应用，如T2，T3.1(2014成都模拟)已知，是两个不同的平面，则“平面平面”成立的一个充分条件是()A存在一条直线l，l，lB
10、存在一个平面，C存在一条直线l，l，lD存在一个平面，2(2014南昌模拟)已知直线m、n和平面、满足mn，m，则()An Bn或nCn Dn或n3(2014浙江高考)设m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面() A若mn，n，则m B若m，则m C若 m，n，n，则 m D若 mn，n，则m自主解答1.垂直于同一直线的两个平面平行，故C正确2已知直线m、n和平面、满足mn，m，则在直线m上取一点M，过M作直线n，使得nn，因为mn，所以mn，又m，所以n或n，所以n或n.故选D.3选项A、B、D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选C. 答案1.C2.D3.C求解空间线面位置
11、关系判断题的两大思路(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断；(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断热点四多面体与球的切接问题命题角度(1)与球的组合体中求球的表面积或体积；(2)与球有关的组合体中求棱柱(锥)的体积、表面积.例(1)(2014陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.B4 C2 D.(2)(2014泰安模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A. B.C4 D16(3)(2014昆明模拟)已知A，B，C，
12、D四点在半径为的球面上，且ACBD，ADBC5，ABCD，则三棱锥DABC的体积是_师生共研(1)因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13.故选D.(2)如图所示，由三视图可知该几何体为圆锥，AD为该圆锥外接球的直径，则AO1，CO，由射影定理可知CO2AOOD，得OD3，所以外接球的半径为(AOOD)2，表面积为42216.(3)依题意得，可将该三棱锥DABC补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则有由此解得a2，b3，c4，结合图形可知，三棱锥DABC的体积是abc8.答案(1)D(2)D(3)8 处理球与棱柱、棱锥切、接问题的思路
13、(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题；(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置；(3)建立几何量间关系求半径r.1已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为()A4 B12C16 D64解析：选C取SC的中点E，连接AE、BE，依题意，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2，即ABBC.又SA平面ABC，SABC，又SAABA，BC平面SAB，BCSB，AESCBE，点E是三棱锥SABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OASC 2，故球O的
14、表面积为4OA216.2三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是()A. B. C. D.解析：选A取ABC外接圆圆心F，与AD的中点即球心O连接，由球的性质可知OF与平面ABC垂直，在RtAOF中，AO，AF，故OF，又AD2OA，故点D到平面ABC的距离h2OF，因此VABCDVDABC12，故选A.一、选择题1(2014湛江模拟)一个几何体的正视图、侧视图和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱解析：选D对于圆柱，其正视图和侧视图是形状和大小相同的矩形，但其俯视图为圆
15、，因此不满足题意，故选D.2(2014江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形3(2014陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4B3 C2 D 解析：选C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.4(2014新课标全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A6 B4 C
16、6 D4解析：选C如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD6，选C.5(2014辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A82 B8C8 D8解析：选B直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为2321228.6(2014安庆模拟)一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是()A124 B82C122 D84解析：选A由三视图可得，多面体如图所示，其表面积为S2242222124.7(2014四川高考)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，
17、则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)()A3 B2 C. D1解析：选D由俯视图可知三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，底面面积为22sin 60，由侧视图可知三棱锥的高为，故此三棱锥的体积V1，故选D.8(2014湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1 B2 C3 D4解析：选B该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r2，故选B.9(2014新课标全国卷)正三棱柱ABCA1B1C1 的底
18、面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1 的体积为()A3 B. C1 D. 解析：选C由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1D C1ADSB1D C121，故选C.10(2014新课标全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.解析：选C原毛坯的体积V(32)654 cm3，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积VV1V2(22)4(
19、32)234 cm3，故所求比值为1.二、填空题11球O与底面边长为3的正三棱柱的各侧面均相切，则球O的表面积为_解析：设球O的半径为R，底面正三角形内切圆半径就是球O的半径，则R，因此球O的表面积S4R23.答案：312(2014湛江一测)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x_.解析：根据三视图，该几何体的直观图是如图所示以直角梯形ABCD为底面，PA为高的四棱锥，VS梯形ABCDPA3x3，x3.答案：313(2014江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r
20、1，r2，母线长分别是l1，l2.则由可得.又两个圆柱的侧面积相等，即2r1l12r2l2，则，所以.答案：14已知A，B是两个不同的点，m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则m，AmA；mnA，A，BmB；m，n，mn；m，m.其中真命题的序号为_解析：结合公理、定理逐一判断根据平面的性质，可知正确；中不能确定B；中与可能平行也可能相交；中根据面面垂直的判定可知正确，故为真命题答案：15(2014北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_解析：三视图所表示的几何体的直观图如图所示结合三视图知，PA平面ABC，PA2，ABBC，AC2.所以PB，PC2，所以该三棱
21、锥最长棱的棱长为2.答案：216(2014东北三校联考)正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_解析：依题意，设正四面体ABCD外接球的球心为O，顶点A在底面BCD内的射影为G，则OAOBR，BG4，AG，OB2OG2BG2，R222，R，OE.当OE垂直于截面时，截面半径r最小，r2，截面面积的最小值为r24.答案：4第二讲高考中的立体几何(解答题型)1(2014安徽高考)如图，四棱锥PABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH 平面ABCD，BC平面GE
22、FH.(1)证明：GHEF； (2)若EB2，求四边形GEFH 的面积解：(1)因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBD
23、B14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.2(2014陕西高考)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点 E，F，G，H.(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDCD2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，B
24、CFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，ab，a.(2)线面平行的性质定理：a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性质定理：，a，b，ab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，ln，l.(2)线面垂直的性质定理：a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理：a，a，.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，al，a.热点一线、面位置关系的证明命题角
25、度此类题目多以柱体、锥体为载体，考查空间位置关系的证明空间线线、线面、面面的平行和垂直的转化是高考考查的重点和主要命题方向. 例1(2014山东高考)如图，四棱锥PABCD 中， AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC 的中点(1)求证： AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.师生共研(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC 的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，
26、EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.1如图，矩形CDEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，其中ABCD，AB1，BCCD2，BCCD，MBFC，MBFC3.P、Q分别为BC、AE的中点(1)求证：PQ平面MAB；(2)求证：平面EAC平面MBD.解：(1)取AD的中点N，连接QN、PN.在AED中，ANND，AQQE，所以QNED.又EDFCMB，所以QNMB.在梯形ABCD中，ANND，BPPC，又ABCD，所以PNABC
27、D.又QNNPN，MBABB，所以平面QPN平面MAB，又PQ平面QPN，所以PQ平面MAB.(2)因为平面ABCD平面CDEF，平面ABCD平面CDEFCD，在矩形CDEF中，FC CD，所以FC平面ABCD，所以FCAC，又MBFC，所以MBAC.在直角梯形ABCD中，tanDBC2，tanACB.所以DBCACB，故ACBD.又BDMBB，所以AC平面MBD，又AC平面EAC，所以平面EAC平面MBD.热点二空间位置关系与体积的综合问题命题角度空间线面位置关系与体积的计算相结合命题是高考常考题型一般是第一问考查空间位置关系，特别是垂直关系的证明；第二问考查几何体的体积或由体积来求点到平面
28、的距离等计算.例2(2014辽宁高考)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC120 ，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高师生共研(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD中点，所以CGAD；同理BGAD；又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AO
29、ABsin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.三种常见的求体积的方法(1)分割求和法：把不规则的图形分割成几种规则的图形，然后进行体积求和(2)补形法：把不规则的形体补成规则的形体，不熟悉的形体补成熟悉的形体，便于计算其体积常见的补形方法：将正四面体补成正方体；将棱长相等的三棱锥补成长方体；将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体；将三棱锥补成三棱柱或平行六面体；将三棱柱补成平行六面体；将台体补成锥体(3)等积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积2如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB
30、90，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，ACBC1，AA12.(1)求证：CF平面AEB1；(2)求三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高解：(1)取AB1的中点G，连接EG，FG，F、G分别是AB、AB1的中点，FGBB1，FGBB1，E为侧棱CC1的中点，FGEC，FGEC，四边形FGEC是平行四边形，CFEG，CF平面AB1E，EG平面AB1E，CF平面AB1E.(2)三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，BB1平面ABC.又AC平面ABC，ACBB1，ACB90，ACBC，BB1BCB，AC平面EB1C，VAEB1CSEB1CAC1.AEEB1，AB1，SAB1E.VCAB1
31、EVAEB1C，三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高为.热点三折 叠 问 题命题角度折叠问题是高考常考题型，一般来说，折叠问题常从以下两个角度考查：一是将平面图形折叠成空间几何体，进而论证位置关系和求空间几何体体积；二是将空间图形拆分并铺成平面图形来计算一些数量关系.例3(2014广东高考)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图(2)折叠：折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积师生共研(1)PD平面ABCD，AD平面ABCD， PD
32、AD，又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF.CF，EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD. 求解翻折问题的两个关键点(1)画好两个图翻折前的平面图和翻折后的立体图(2)分析好两个关系翻折前后哪些位置关系和变量关系发生了变化，哪些没有变，这
33、些不变和变化的量反映了折叠后空间图形的结构特征一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变的，分别位于两个半平面内但垂直于棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱3如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB.所以DE平面A1CB.(2)由已
34、知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.又A1DCDD，所以DE平面A1DC.因为A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED.所以A1F平面BCDE.因为BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B中点P，Q，连接PQ，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，又A1C平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.因为DPDED.所以A1C平面DEP，即A1C平面DEQ.
35、故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.课题5空间线面位置关系的证明典例(2014湖北高考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1 的中点求证：(1)直线BC1 平面EFPQ；(2)直线 AC1平面 PQMN.考题揭秘本题主要考查空间线线和线面位置关系等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力和运算能力，考查转化和化归思想审题过程第一步：审条件在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点第二步：审结论(1)证明BC1平面EFPQ
36、；(2)证明AC1平面PQMN.第三步：建联系第(1)问要证直线BC1平面EFPQ，可在平面EFPQ内找一条直线与BC1平行即可可通过中点联想三角形中位线来寻找这条直线；第(2)问要证明直线AC1平面PQMN，可利用线面垂直的判定定理，在平面PQMN内找到两条相交且都与直线AC1垂直的直线即可为此可通过线面垂直的判定定理和性质定理来实现规范解答(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则ACBD.由CC1
37、平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNB1D1，故MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.模型归纳证明线面平行与垂直的模型示意图如下：在已知平面内找或作一条直线与已知直线平行或在已知平面内找或作一条直线与另一平面垂直，如步骤证明所找直线与已知直线平行或与已知平面垂直，如步骤利用线面平行(面面垂直)的判定定理，得出结论，如步骤跟踪训练(2014大连模拟)如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为直角梯形，
38、BCAD，BCCD，BCCDAD.(1)若E为PD中点，证明：CE平面APB；(2)若PAPB，PCPD，证明：平面APB平面ABCD.证明：(1)取PA中点F，连接EF，BF，E为PD中点，EFAD，BCAD，EFBC，四边形EFBC为平行四边形，BFCE.BF平面APB，CE平面APB，CE平面APB.(2)取CD中点G，AB中点H，连接PG，HG，PH，PCPD，CD中点为G，PGCD.APB是等腰三角形，H是AB中点，PHAB，HGAD.BCAD，BCCD，HGCD，HGPGG，HG平面PHG，PG平面PHG，CD平面PHG.又PH平面PHG，CDPH.AB平面ABCD，CD平面ABC
39、D，AB和CD相交，PH平面ABCD.又PH平面APB，平面APB平面ABCD.1(2014新课标全国卷) 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解：(1)设BD与AC的交点为O，连接EO.因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点又因为E为PD的中点，所以EOPB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)由VPAABADAB，V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，又BCPBB，故AH平面PBC.又AH.
40、所以A到平面PBC的距离为.2(2014郑州模拟)正三角形ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点(如图(1)现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图(2)在图(2)中：(1)求证：AB平面DEF；(2)求多面体DABFE的体积解：(1)在ABC中，因为E、F分别是AC、BC的中点，所以EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)由二面角ADCB是直二面角知平面ADC平面BCD，又在正三角形ABC中，D为边AB的中点，故ADCD，所以AD平面BCD，V三棱锥ABCDSBCDAD，V三棱锥EFCDSBCDAD，所以多面体DABFE的体积VV
41、三棱锥ABCDV三棱锥EFCD.3(2014北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积解：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC，BB1BCB，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，FGA1C1，所以FG
42、EC1，且FGEC1.所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.4(2014四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解：(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以，MD AC，OE AC，因此MD OE.连接OM，从而四边形MDEO为平形四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.
