1、课时素养检测 三十二平面与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为()A.90B.60C.45D.30【解析】选A.因为PA平面ABC,BA,CA平面ABC,所以BAPA,CAPA,因此BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又BAC=90,所以二面角B-PA-C的大小为90.2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A.平面PAB分别与平面PBC、平
2、面PAD垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直【解析】选A.易得DA平面PAB,CB平面PAB,因为DA平面PAD,CB平面PBC,所以平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直.3.(2018浙江高考)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2,二面角S-AB-C的平面角为3,则()A.123B.321C.132D.231【解析】选D.如图所示,作S的投影点O,取AB的中点F,连接SO,SF,OF,作GE平行于BC,且
3、GE=BC,连接SG,OG,SE,OE.因为S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,所以SOF=SOE=SGE=90,因为SE与BC所成的角为1,所以cos 1=,因为SE与平面ABCD所成的角为2,所以sin 2=,因为二面角S-AB-C的平面角为3,所以sin 3=,cos 3=.因为GE=OF,SFSE,所以cos 1cos 3,sin 2sin 3,即13, 23,所以231.4.已知直线a,b与平面,下面能使成立的条件是() A.,B.=a,ba,bC.a,aD.a,a【解析】选D.由a,知内必有直线l与a平行,而a,所以l,所以.选D.5.已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形
4、ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD,则在折叠过程中,不能出现()A.BDACB.平面ABD平面CBDC.VA-CBD=D.ABCD【解析】选D.对于A:取BD中点O,因为AOBD,COBD,AOCO=O,所以BD平面AOC,所以BDAC,故A对;对于B:当沿对角线BD折叠成直二面角时,有平面ABD平面CBD,故B对;对于C:当折叠所成的二面角AOC=150时,顶点A到底面BCD的距离为,此时VA-BCD=Sh=2=,故C对;对于D:若ABCD,因为BCCD,ABBC=B,所以CD平面ABC,所以CDAC,而CD=2,AD=2,即直角边长与斜边长相等,显然不对;故D错.6.(多选题)下列
5、命题中正确的是()A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】选ABC.如果平面平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直,故D项叙述是错误的.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图所示,平面平面,在与交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和内,ACAB,BDAB,AC=3,BD=12,则CD=_.【解析】连接BC.因为BDAB,=AB,所以BD.因为BC,所以BDBC,所以CBD是直
6、角三角形.在RtBAC中,BC=5.在RtCBD中,CD=13.答案:138.(双空题)已知PA矩形ABCD所在的平面(如图),写出图中互相垂直的两对平面_,_.【解析】因为DAAB,DAPA,ABPA=A,所以DA平面PAB,同样BC平面PAB,又易知AB平面PAD,所以DC平面PAD.所以平面PAD平面ABCD,平面PAD平面PAB,平面PBC平面PAB,平面PAB平面ABCD,平面PDC平面PAD,共5对.选其中两对即可.答案:平面PAD平面ABCD平面PAD平面PAB(答案不唯一)三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,四边形ABCD是正方形,PAB与PAD均是以A为直角顶点的等
7、腰直角三角形,点F是PB的中点,点E是边BC上的任意一点.(1)求证:AFEF;(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.【解析】(1)因为F是PB的中点,且PA=AB,所以AFPB,因为PAB与PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,所以PAAD,PAAB.因为ADAB=A,AD平面ABCD,AB平面ABCD,所以PA平面ABCD.因为BC平面ABCD,所以PABC.因为四边形ABCD是正方形,所以BCAB.因为PAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB,所以BC平面PAB.因为AF平面PAB,所以BCAF.因为PBBC=B,PB平面PBC,BC平面PBC,所以AF平面PBC.因为EF
8、平面PBC,所以AFEF.(2)作FHPC于点H,连接AH,因为AF平面PBC,PC平面PBC,所以AFPC.因为AFFH=F,AF平面AFH,FH平面AFH,所以PC平面AFH.因为AH平面AFH,所以PCAH.所以AHF为二面角A-PC-B的平面角.设正方形ABCD的边长为2,则PA=AB=2,AC=2,在RtPAC中,PC=2,AH=,在RtAFH中,sinAHF=,所以二面角A-PC-B的平面角的正弦值为.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BAD=CDA=90,PA平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)证明:平面PAC平面PBC;(2)求点D到平
9、面PBC的距离.【解析】(1)由已知得AC=,BC=,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BCAC,因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC,因为PAAC=A,所以BC平面PAC,因为BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC.(2)由(1)得BC平面PAC,所以BCPC,BC=,PC=,设点D到平面PBC的距离为d,因为VP-BCD=VD-PBC,所以DCADPA=PCBCd,所以111=d,解得d=,所以点D到平面PBC的距离为.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.一个二面角的两个半平面分别垂直
10、于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D-AA1-F与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的,但这两个二面角既不相等,也不互补.2.三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心,高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是()A.60B.30C.45D.75【解析】选A.如图,设O为底面正三角形的中心,则PO平面ABC,所以OC=2.过O作OMBC于M,连接PM,则有PMBC,所以PMO即为侧面与底面所成的二面角.在直角CMO
11、中,OM=OCsin 30=1,所以在直角MPO中,PM=2,所以cosPMO=.所以PMO=60.3.在空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC【解析】选D.平面ADC平面DBC.4.(多选题)下列四个命题中,正确的为()A.,则B.,则C.,则D.,则【解析】选AB.CD不正确,如图所示,但,相交且不垂直.二、填空题(每小题4分,共8分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是_.【解析】二面角的平面角为D1AD,故为45.答案:456.在四棱锥P-A
12、BCD中,PA底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC,因为PA底面ABCD,所以PABD,因为四边形ABCD的各边相等,所以ACBD,且PAAC=A,所以BD平面PAC,即BDPC,要使平面MBD平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DMPC(或BMPC).答案:DMPC(或BMPC)三、解答题(共26分)7.(12分)在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD平面BCD.【证明】如图所示,因为ABD与BCD是全等的等腰三角形,所以
13、取BD的中点E,连接AE,CE,则AEBD,BDCE.在ABD中,AB=a,BE=BD=a,AE=a.同理CE=a.在AEC中,AE=CE=a,AC=a,由于AC2=AE2+CE2,所以AECE,又BDEC=E,所以AE平面BCD,又AE平面ABD,所以平面ABD平面BCD.8.(14分)如图,菱形ABCD的边长为6,BAD=60,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3.求证:(1)OM平面ABD;(2)平面ABC平面MDO.【证明】(1)由题意知,O为AC的中点,因为M为BC的中点,所以OMAB.又OM平面ABD,AB平面ABD,所以OM平面ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3,所以OM2+OD2=DM2,所以DOM=90,即ODOM.因为四边形ABCD是菱形,所以ODAC.又OMAC=O,OM,AC平面ABC,所以OD平面ABC.因为OD平面MDO,所以平面ABC平面MDO.
