1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第1讲 平面向量的概念及线性运算考纲展示三年高考总结1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义.从近三年高考情况来看，平面向量的概念一般不直接考查，通常是结合后面的知识进行综合考查平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题在求解过程中注意突出向量的几何性，向量的线性运算结合图形进行求解.考点多维探究考点 1 平面向量的基本
2、概念回扣教材向量的有关概念小题快做1.思考辨析(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()2设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若 a与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时
3、a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.故选 D.3若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量解析 利用平面向量的基本概念易得结论4若 mn，nk，则向量 m 与向量 k()A共线B不共线C共线且同向D不一定共线解析 若 m0，0k，则 k 与 m 不一定共线，故选 D.典例1 (1)下列有关向量相等的命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()
4、A BC D(2)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a|b|b|成立的充分条件是()AabBabCa2bDab 且|a|b|解析(1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且|a|b|，不一定 ab 也可以是 ab.故|a|b|且 ab 不是
5、ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A.(2)因为向量 a|a|的方向与向量 a 相同，向量 b|b|的方向与向量 b 相同，且 a|a|b|b|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D.当 a2b 时，a|a|2b|2b|b|b|，故 a2b 是 a|a|b|b|成立的充分条件解决向量的概念问题应关注六点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量(4
6、)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量(6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.【跟踪训练】1把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()A一条线段B一段圆弧C两个孤立点D一个圆解析 因为单位向量的模均为 1，把所有单位向量的起点放在一起，则终点构成的图形为圆2下列与共线向量有关的命题：相反向量就是方向相反的向量若 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线；两
7、向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为_解析 不正确相反向量满足方向相反，长度相等不正确，两向量不能比较大小；不正确当0 时，a 与 b 可能不共线；正确考点多维探究考点 2 平面向量的线性运算回扣教材向量的线性运算小题快做1.思考辨析(1)两个向量的和与差仍是一个向量()(2)ABC 中，D 是 BC 中点，则AD 12(ACAB)()(3)向量 a 与 a 是共线向量，它们具有相同的方向()2.如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，则向量 ab 可表示为()A3e2e1B2e14e2Ce13e2D3e1e2解析 向量 a4e2，be1e2，则 abe13e2，故选
8、C.32015东北联考在四边形 ABCD 中，若ACABAD，则四边形 ABCD 一定是()A矩形B菱形C正方形D平行四边形解析 由ACABAD 得ACABBCAD，易知选 D.4如图，正六边形 ABCDEF 中，BACD EF()A0 B.BEC.ADD.CF解析 BACD EFBAAFCBCF.故选 D.平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，且主要有以下几种命题角度.命题角度 1 向量加减法的几何意义典例2 2015湖南高考已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，
9、且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A6 B7C8 D9解析 解法一：由圆周角定理及 ABBC，知 AC 为圆的直径故PAPC2PO(4,0)(O 为坐标原点)设 B(cos，sin)，PB(cos2，sin)，PAPB PC(cos6，sin)，|PAPB PC|cos62sin2 3712cos 37127，当且仅当 cos1 时取等号，此时 B(1,0)，故|PAPBPC|的最大值为 7.故选 B.解法二：同解法一得PAPC 2PO(O 为坐标原点)，又PBPO OB，|PAPBPC|3PO OB|3|PO|OB|3217，当且仅当PO 与OB 同
10、向时取等号，此时 B 点坐标为(1,0)，故|PAPBPC|max7.故选 B.命题角度 2 向量的线性运算典例3 2015课标全国卷设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC解析 AD ABBD ABBCCD AB43BCAB43(ACAB)13AB43AC.故选 A.命题角度 3 与平面图形相结合求参数取值典例4 2013四川高考在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABAD AO，则 _.2解析 由平行四边形法则，得ABAD AC2AO，故 2.平面
11、向量线性运算问题的求解策略(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【跟踪训练】3已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab解析 解法一：(代数法)将原式平方得|ab|2|a
12、b|2，a22abb2a22abb2，ab0，ab，故选 B.解法二：(几何法)如图所示，在ABCD 中，设ABa，AD b，ACab，DB ab，|ab|ab|，平行四边形 ABCD 的两条对角线长度相等，即平行四边形 ABCD 为矩形，ab，故选 B.42014课标全国卷设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.ADB.12ADC.BCD.12BC解析 如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB)122AD AD.52015扬州模拟在ABC 中，N 是 AC 边上一点且AN12NC，P 是 BN 上一点，若APmAB29AC，则实数 m 的
13、值是_13解析 解法一：设BPxBN，则APABBPABxBNABx(ANAB)(1x)AB13xAC，易知 x23，1x13.解法二：如图所示，因为AN12NC，所以AN13AC，所以APmAB29ACmAB23AN.因为 B，P，N三点共线，所以 m231，所以 m13.考点多维探究考点 3 共线向量定理及其应用回扣教材共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.提醒 限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性ba小题快做1.思考辨析(1)若 ab，则R 使 ba.()(2)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(3)当两
14、个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()22016福建四地六校联考已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OABA，则()A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上解析 因为 2OP 2OA BA，所以 2APBA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B.3已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向量 abc()AaBbCcD0解析 依题意，设 abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即
15、acmcna.又 a 与 c 不共线，于是有 m1，n1，abc，abc0，选 D.4已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.13解析 由 ab 与 3ab 共线易得 abx(3ab)3xaxb，即3x1x 解得 x13，13.典例5 设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)求证：A、B、D 三点共线解(1)证明：因为ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB，BD 共线又AB与BD 有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线(2)试确定实数 k，使 k
16、ab 和 akb 共线解(2)因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)，即k，1k，解得 k1.即 k1 时，kab 与 akb 共线共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数，使 ab，则 a 与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数，使ABAC，则 A，B，C 三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.【跟踪训练】62015长春模拟e1、e2 是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CB2e1e2，CD 3e1e2，若 A，B，D 三点共线，则 k
17、 的值是()A1 B2C1 D2解析 A，B，D 三点共线，AB与BD 共线，存在实数，使得ABBD.BD CD CB3e1e2(2e1e2)e12e2，e1ke2(e12e2)，e1、e2 是平面内不共线的两向量，1，k2，解得 k2.故选 B.7已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一直线上，则 t_.12解析 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相同atb 与 a13(ab)共线，即 atb 与23a13b 共线，存在实数，使 atb23a13b，123，t13，解得 32，t12，即 t
18、12时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上 方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量 a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线平行或重合3证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，OA，OB 不共线，满足OP
19、 xOA yOB(x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系向量AB与CD 是共线向量，但 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上4向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个.微专题思想方法方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 如图所示，在ABO 中，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交
20、于点 M，设OA a，OB b.试用 a 和 b 表示向量OM.解题视点(1)利用已知向量表示其他向量是向量解题的基础内容，要尽可能的将向量转化到平行四边形或三角形中；(2)根据结论，用向量 a，b 表示OM，可设OM manb；(3)利用向量共线可建立方程组，利用方程思想求解 m，n 的值解 设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 12OB OA a12b.又A、M、D 三点共线，AM 与AD 共线存在实数 t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去 t 得，m12n，即 m2n1.又CM OM
21、 OC manb14am14 anb，CBOB OC b14a14ab.又C、M、B 三点共线，CM 与CB共线，存在实数 t1，使得CM t1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去 t1 得，4mn1.由 得 m17，n37，OM 17a37b.方法指导(1)本题考查了向量的线性运算，要准确运用向量的相关知识点，解题过程比较繁琐，具有一定的难度(2)本题的易错点是找不到问题的切入口，不能应用待定系数法进行求解(3)数形结合思想是向量运算的核心，向量是一个几何量，因此在解决有关向量问题时，要习惯于结合图形进行分析、判断、求解如本题易忽视 A、M、D 三点共线及 B、M、C 三点共线的几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会这一思想在解题中的应用课后课时作业
