1、9.4.1 矩形第9章中心对称图形平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2u矩形的定义及其性质u矩形的判定u两条平行线之间的距离知识点矩形的定义及其性质知1讲11.定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形也叫长方形.知1讲2.特殊性质如下表图形文字语言(性质)符号语言矩形的四个角都是直角四边形ABCD 是矩形，DAB=DCB=ADC=ABC=90矩形的对角线相等四边形ABCD 是矩形，AC=BD矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩形也是中心对称图形知1讲特别提醒：(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；(2)利
2、用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系、直线平行、角相等等；(3)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化成直角三角形或等腰三角形来解决.知1讲特别提醒：由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个平行四边形是矩形的一种方法.知1讲例 1 如图9.4.1-1，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BOC 120，AB 6，求：(1)对角线的长；知1讲知1讲(2)BC 的长；知1讲(3)矩形ABCD 的面积知1讲解题秘方：紧
3、扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.知1讲方法点拨：1.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.2.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个直角三角形，矩形中的相关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关知识.知1讲注意：本例也可通过 BOC=120，OB=OC，得BCA=30，再由含30角的直角三角形的性质求对角线、BC 的长将更简便，请读者试一试.知1讲例2 如图9.4.1-2 所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE BD 于点E，DAE BAE=3 1，求 BAO 和 EAO 的度数.知1讲知1讲思路点拨：由 DAE 与 BAE
4、之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出 DAE 和 BAE 的度数，从而得出 ABE的度数，由矩形的性质易得BAO=ABE，即可求出 BAO 的度数，再由 EAO=BAO-BAE可得 EAO 的度数.知1讲解题秘方：紧扣矩形的性质，将矩形问题转化为直角三角形和等腰三角形的相关问题即可求解.知1讲例 3 如图9.4.1-3，已知四边形ABCD 是矩形，PBC 和QCD都是等边三角形，且点P 在矩形的上方，点Q 在矩形内.连接PA、PQ.求证：(1)PBA=PCQ=30；知1讲证明：四边形ABCD 是矩形，ABC=BCD=90.PBC 和 QCD 都是等边三角形，PBC=PCB=QCD=60.PB
5、A=ABC-PBC=30，PCD=BCD-PCB=30.PCQ=QCD-PCD=30.PBA=PCQ=30.知1讲(2)PA=PQ.证明：四边形ABCD 是矩形，AB=DC.PBC 和 QCD 都是等边三角形，PB=PC，QC=DC=AB.又由(1)知 PBA=PCQ，PAB PQC.PA=PQ.知1讲思路点拨：(1)矩形的四个内角都等于90.利用PBC和QCD都是等边三角形，容易求得 PBA和PCQ的度数，从而得证；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明 PAB PQC，从而证得PA=PQ.知2讲知识点矩形的判定21.判定图形文字语言(判定)符号语言有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
6、(定义法)BAD=90(或 ABC=90或 BCD=90或 ADC=90)，ABCD 是矩形三个角是直角的四边形是矩形(判定一)DAB=ABC=BCD=90，四边形ABCD 是矩形对角线相等的平行四边形是矩形(判定二)AC=BD，ABCD 是矩形知2讲2.易错警示(1)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形；(2)用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形.也就是说两条对角线相等的四边形不一定是
7、矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形.知2讲特别解读：1.矩形的判定和性质互为逆定理.2.矩形判定的常见思路.(1)从角的角度证明：四边形矩形；平行四边形矩形；(2)从对角线的角度证明：平行四边形矩形；四边形矩形.有三个直角有一个直角对角线相等对角线互相平分且相等知2讲例4 模拟南通 如图9.4.1-4，在平行四边形ABCD 中，E、F为BC 上两点，且BE CF，AF DE，求证：(1)ABF DCE；知2讲证明：BE CF，BF BE+EF，CE CF+EF，BFCE四边形ABCD 是平行四边形，ABDC在 ABF 和 DCE 中，AB=DC，BF=CE，AF=DE，ABF DC
8、E知2讲(2)四边形ABCD 是矩形证明：ABF DCE，B C四边形ABCD 是平行四边形，AB CD B+C 180 B C 90 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)知2讲解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.知2讲解法提醒：由定义来判定矩形，要在平行四边形的前提下，证明有一个角是90，若在四边形的前提下，则需先证明是平行四边形，再证明有一个角是90.矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.知2讲例 5 模拟苏州 如图9.4.1-5，在四边形ABCD 中，AD BC，AB DE，AF DC，E、F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形(1)AD 与BC
9、 有何等量关系？请说明理由；知2讲解：BC 3AD理由如下：AD BC，AB DE，AF DC，四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形 AD BE，AD FC.又四边形AEFD 是平行四边形，AD EF AD BE EF FC BC 3AD知2讲(2)当AB DC 时，求证：AEFD 是矩形证明：四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，DE AB，AF DC又 AB DC，DE AF又四边形AEFD 是平行四边形，AEFD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)知2讲解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手(或从“有一个角是直角”入手)进行证明.知2讲证明一个
10、平行四边形为矩形的两种方法：一种是证明有一个角是直角，另一种是证明两条对角线相等.本例采用的是对角线相等的方法.若采用有一个角是直角的方法，可证DE=DC，EF=FC，利用等腰三角形的“三线合一”可得 DFE=90.知2讲例6 模拟南昌 如图9.4.1-6，在 ABC 中，AB AC，AE BC，AD 平分 FAC，CD AD 于点D求证：四边形AECD 是矩形知2讲知2讲知2讲解题秘方：题中证明矩形的条件是建立在四边形基础上，且都与角相关，可从证直角入手进行判定.知2讲思路点拨：要判定一个四边形是矩形，通常选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明；也可以先判定它是平行四边形，再根据平行四边形
11、成为矩形应满足的条件，证明有一个角是直角或对角线相等.知3讲知识点两条平行线之间的距离31.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.知3讲三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离 两条平行线间的距离区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度联系最后都归结为两点间的一条线段的长度知3讲特别提醒：1.距离是指垂线段的长度，它是正值.2.当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值.3.平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.4.任何两条平行线间
12、的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度.知3讲2.性质 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.数学表达式：如图9.4.1-7，A、C 是l1上任意两点.l1 l2，AB l2，CD l2，AB=CD.知3讲3.拓展(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；(2)等底等高的平行四边形(包括矩形等)的面积相等；(3)平行四边形(包括矩形等)的面积=底 高=ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h 必须是这条边与它的对边之间的距离）.如图9.4.1-8 所示，在ABCD中，AE BC 于点E，CF AB 于点F，则S AB
13、CD=BCAE=ABCF.知3讲例 7 如图9.4.1-9，已知直线a b，点C、D 在直线a 上，点A、B 在直线b 上，线段BC、AD 相交于点E，若 ABC 的面积为20，AB 5，CD 2，则 ACD 的面积为_8知3讲解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行解答.知3讲解析：如图9.4.1-9，过点C 作CH1 直线b，垂足为H1，过点A 作AH2 直线a，垂足为H2.直线a b，CH1 直线b，AH2 直线a，CH1=AH2(平行线间的距离处处相等).知3讲知3讲特别提醒：1.由平行线间的距离处处相等，可知顶点都在两平行线上的三角形的高相等.2.解顶点在两平行线上的三角形的面积问题时常作高(两平行线间的垂线段)进行解答.矩形矩形边的性质性质角的性质对角线的性质定义判定角的关系两条平行线之间的距离对角线关系
