1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹角课后篇巩固提升必备知识基础练1.设直线l与平面相交,且l的方向向量为a,的法向量为n,若=23,则l与的夹角为()A.23B.3C.6D.56答案C解析线面角的范围是0,2.=23,l与法向量所在直线所成角为3,l与的夹角为6.2.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面的夹角的余弦值为()A.-1515B.1515C.-21015D.21015答案D解析设直线l与平面的夹角为02,则sin=|cos|=11+1(-3)+2012+12+2212+(-3)2+02=26
2、10=1515,cos=1-sin2=21015.直线l与平面的夹角的余弦值为21015.3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.6B.3C.2D.56答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),DBn=0,DEn=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),cos=1+223=32,=30.直线A1B与平面BDE的夹角为60.4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3
3、的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC的夹角的大小为()A.512B.3C.4D.6答案B解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2=2.故PAO=3,即PA与平面ABC的夹角为3.5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.答案74解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t0),AB=(1,3,6),所以cos=nAB|n|AB|=3t4|t|,因为0,所以sin=1-(3t4|t|
4、)2=74.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.答案33解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又BB1=(0,0,1),则sin=|cos|=|DB1BB1|DB1|BB1|=131=33.7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.答案104解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=-32,12,1,又平面BB1C1C的一
5、个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为.sin=|cos|=|AC1n|AC1|n|=64,cos=1-sin2=104.8.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;(2)求直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,A1C=(a,a,-a),DE=a,-a2,0,cos=A1CDE|A1C|DE|=1515,
6、故A1C与DE所成角的余弦值为1515.(2)连接DB1,ADE=ADF,AD在平面B1EDF内的射影在EDF的平分线上.又B1EDF为菱形,DB1为EDF的平分线,故直线AD与平面B1EDF所成的角为ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a,a),cos=DADB1|DA|DB1|=33,又直线与平面所成角的范围是0,2,故直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值为33.9.如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平
7、面PAB;(2)求直线CE与平面PBC的夹角的正弦值.解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=12AD,又因为BCAD,BC=12AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.BF平面PAB,CE平面PAB,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PB
8、N,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在RtMQH中,QH=14,MQ=2,所以sinQMH=28.所以,直线CE与平面PBC的夹角的正弦值是28.关键能力提升练10.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面的法向量,则直线l与平面的夹角为()A.30B.45C.60D.90答案A解析cos=an|a|n|=241=12,故向量夹角为60
9、,则直线l与平面所成的角为90-60=30.11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1BC,且A1C与底面成45角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为()A.43B.33C.4D.3答案C解析由已知得BCAB,平面A1ABB1平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12ABBCA1D=12222=4.12.AB,AA,A是垂足,BB是的一条斜线段,B为斜足,若AA=9,BB=63,则直线BB与平面的夹角的大小为.答案6013.如图,圆锥的高PO=2,底面O的直径AB
10、=2,C是圆上一点,且CAB=30,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.答案73解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即13SPACd=13|PO|SOAC,d=212321234(3)2=23,sin=d|CO|=23,则cos=73.14.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD的夹角的正弦值.解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,设|PD|=1,则|DC|=1,|CB|=1,且PD,DC
11、,CB两两垂直,可得|EB|=62,EBDP=-12,cos=EBDP|EB|DP|=-1262=-66,直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为66.学科素养拔高练15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP=m(m0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).因为ACBD=0,ACBB1=0,所以AC为平面BDD1B1的一个法向量.设AP与平面BDD1B1所成的角为,则sin=cos2-=|APAC|AP|AC|=222+m2,所以cos=1-sin2=m2+m2.因为tan=sincos=2m=32,所以m=13.故当CP=13CC1时,直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.
