1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列命题中为真命题的是()A.向量AB与BA的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案A2.下列向量的运算结果为零向量的是()A.BC+ABB.PM+MN+MPC.MP+GM+PQ+QGD.BC+CA+AB+CD答案C3.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案B解析由题意可得ab=0,e1
2、e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a2答案C解析AEAF=12(AB+AC)12AD=14(ABAD+ACAD)=14aa12+aa12=14a2.5.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD答案BCD解析PCBD=(PA+A
3、B+BC)(BA+AD)=PABA+ABBA+BCBA+PAAD+ABAD+BCAD=-(AB)2+(BC)20.因为PA平面ABCD,所以PACD,即PACD=0,又因为ADAB,ADPA,所以AD平面PAB,所以ADPB,所以DAPB=0,同理PDAB=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.6.设e1,e2是平面内不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k=.答案-87.化简:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(a-2b+c)=.答案56a+92b-76c8.如图,平行六面体ABCD-ABCD中
4、,AB=AD=1,AA=2,BAD=BAA=DAA=60,则AC的长为.答案11解析|AC|2=|AB+BC+CC|2=AB2+BC2+CC2+2ABBC+2BCCC+2ABCC=12+12+22+211cos60+212cos60+212cos60=11,则|AC|=11.9.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:AB+CB+AD+CD=4EF.证明左边=(AB+AD)+(CB+CD)=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右边,得证.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求的余弦值;(2)求证:
5、BD1EF.(1)解AF=AD+DF=AD+12AA1,CE=CC1+C1E=AA1+12CD=AA1-12AB.因为ABAD=0,ABAA1=0,ADAA1=0,所以CEAF=AA1-12ABAD+12AA1=12.又|AF|=|CE|=52,所以cos=25.(2)证明BD1=BD+DD1=AD-AB+AA1,EF=ED1+D1F=-12(AB+AA1),所以BD1EF=0,所以BD1EF.关键能力提升练11.已知空间向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),则|a-b|的最小值为()A.2B.3C.2D.4答案C解析a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),a-b=(2,1-t,
6、t-1),则|a-b|=22+(1-t)2+(t-1)2=2(t-1)2+4,当t=1时,|a-b|取最小值为2.故选C.12.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.锐角三角形答案B解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,所以|AB|=|AC|,即ABC是等腰三角形.13.如图,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.62B.6C.12D.144答案C解析因为P
7、C=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PAAB+2PABC+2ABBC=36+36+36+236cos60=144,所以PC=12.14.给出下列几个命题:方向相反的两个向量是相反向量;若|a|=|b|,则a=b或a=-b;对于任意向量a,b,必有|a+b|a|+|b|.其中所有真命题的序号为.答案解析对于,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故错误;对于,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有正确.15.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且AP=AB,若CPAB=PAPB,则实数的值为.答案1-22解析设|AB|=a(a0),由题
8、知,01.如图,CP=-AC+AP=-AC+AB,故CPAB=(AB-AC)AB=|AB|2-|AB|AC|cosA=a2-12a2,PAPB=(-AB)(1-)AB=(-1)|AB|2=(-1)a2,则a2-12a2=(-1)a2,解得=1-22=1+22舍.16.如图,平面平面,ACAB,BDAB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD|=.答案AB-AC+BD229解析CD=CA+AB+BD=AB-AC+BD,CD2=(AB-AC+BD)2=AB2+AC2+BD2-2ABAC+2ABBD-2ACBD=16+36+64=116,|CD|=229.17.已知AB
9、CD-ABCD是平行六面体,AA的中点为E,点F为DC上一点,且DF=23DC.(1)化简:12AA+BC+23AB;(2)设点M是底面ABCD的中心,点N是侧面BCCB对角线BC上的34分点(靠近C),设MN=AB+AD+AA,试求,的值.解(1)由AA的中点为E,得12AA=EA,又BC=AD,DF=23DC,因此23AB=23DC=DF.从而12AA+BC+23AB=EA+AD+DF=EF.(2)MN=MB+BN=12DB+34BC=12(DA+AB)+34(BC+CC)=12(-AD+AB)+34(AD+AA)=12AB+14AD+34AA,因此=12,=14,=34.18.如图,在三
10、棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解(1)MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13B1C1=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+21112+21112=5,所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=53.学科素养拔高练19.如图
11、所示,已知线段AB在平面内,线段AC,线段BDAB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与所成的角为30,求CD的长.解由AC,可知ACAB,过点D作DD1,D1为垂足,连接BD1,则DBD1为BD与所成的角,即DBD1=30,所以BDD1=60,因为AC,DD1,所以ACDD1,所以=60,所以=120.又CD=CA+AB+BD,所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2CABD+2ABBD.因为BDAB,ACAB,所以BDAB=0,ACAB=0.故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CABD=242+72+242+22424c
12、os120=625,所以|CD|=25,即CD的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使PQQD?解假设存在点Q(点Q在边BC上),使PQQD,连接AQ,因为PA平面ABCD,所以PAQD.又PQ=PA+AQ,所以PQQD=PAQD+AQQD=0.又PAQD=0,所以AQQD=0,所以AQQD.即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;当a21,即a2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;当a21,即a2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.综上所述,当a2时,存在点Q,使PQQD;当0a2时,不存在点Q,使PQQD.
