1、阶段检测试题(四)(时间:120分钟满分:150分) 选题明细表知识点、方法题号空间几何体的结构特征、直观图3,4,11空间几何体的表面积和体积1,5,17与球相关的切、接问题2,7,14,16平行、垂直的判定与性质9,10,17,18空间角和距离6,13综合问题8,12,15,19,20,21,22一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)(A)8+4(B)8+2(C)4+4(D)4+2解析:三视图还原为三棱锥ABCD,如图所示,AB
2、=AC=BD=CD=AD=2,AO=OC=OB=OD=2,则三棱锥ABCD的表面积为=422+(2)22=8+4.故选A.2.已知三棱锥PABC的各顶点都在以O为球心的球面上,球O的表面积为50,PAAB,PAAC,AB=3,AC=4,BC=5,则PA等于(C)(A)5 (B)5 (C)5 (D)解析:因为AB=3,AC=4,BC=5,=5,所以ABAC,又PAAB,PAAC,故三棱锥PABC的外接球和以PA,AB, AC为长、宽、高的长方体的外接球相同,故外接球直径为4R2=PA2+AB2+ AC2=PA2+9+16,又因为外接球的表面积为50=4R2,则4R2=50=PA2+9 +16,故
3、PA=5.故选C.3.将数字1,2,3,4,5,6书写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体,则柱体A和B的表面(不含地面)数字之和分别是(A)(A)47,48(B)47,49(C)49,50(D)50,49解析:由题可以推测1,6;2,5;3,4分别在相对的面上,则图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+4+3+6+1+5=47,图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48,故选A.4.如图,ABO是利用斜二测画法画出的ABO的直观图,已知ABy轴,OB=4,且ABO的面积为16,过A作ACx轴
4、,则AC的长为(A)(A)2(B)(C)16(D)1解析:因为ABy轴,所以ABO中,ABOB.又因为ABO的面积为16,所以ABOB=16.因为OB=OB=4,所以AB=8,所以AB=4.因为ACOB于C,所以BC=AC,所以AC=4sin 45=2,故选A.5.我国古代名著张丘建算经中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思是:有一个正四棱锥下底边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底边长为六尺(注:1丈=10尺),则该正四棱台的体积是(B)(A)1 946立方尺(B)3 892立方尺(C)7 784立方尺(D
5、)11 676立方尺解析:由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由PA1O1PAO可得=,解得h=21,可得正四棱台体积为V=21(62+202+620)=3 892(立方尺),故选B.6.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为,AB=1,则直线AB1与CD1所成的角为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为,AB=1,所以AA1=,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B1(1,1,),C(0,1,0)
6、,D1(0,0,),所以=(0,1,),=(0,-1,),设直线AB1与CD1所成的角为,则cos =,又090,所以=60,所以直线AB1与CD1所成的角为60.故选C.7.已知三棱锥SABC中,SA平面ABC,且ACB=30,AC=2AB=2,SA=1.则该三棱锥的外接球的体积为(D)(A)(B)13(C) (D)解析:因为ACB=30,AC=2AB=2,所以ABC是以AC为斜边的直角三角形,其外接圆半径r=,则三棱锥外接球即为以ABC为底面,以SA为高的三棱柱的外接球,所以三棱锥外接球的半径R满足R=,故三棱锥外接球的体积V=R3=.故选D.8.如图,在等腰RtABC中,斜边AB=,D为
7、直角边BC上的一点,将ACD沿直线AD折叠至AC1D的位置,使得点C1在平面ABD外,且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上,设AH=x,则x的取值范围是(B)(A)(1,)(B)(,1)(C)(,)(D)(0,1)解析:因为在等腰RtABC中,斜边AB=,D为直角边BC上的一点,所以AC=BC=1,ACB=90,设AH=x,由题意得AC1=AC=1,AC1D=90,C1H平面ABC,所以AHAC1=1,故排除选项A和选项C;当CD=1时,B与D重合,AH=,当CDAB=,因为D为直角边BC上的一点,所以CD(0,1),所以x的取值范围是(,1).故选B.二、多项选择题(本大题共4小题,每
8、小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.“直线l垂直于平面”的充要条件是(ABC)(A)直线l与平面内的任意一条直线垂直(B)过直线l的任意一个平面与平面垂直(C)存在平行于直线l的直线与平面垂直(D)经过直线l的某一个平面与平面垂直解析:ABC为充要条件.根据面面垂直的判定可知,直线l垂直于平面,则经过直线l的某一个平面与平面垂直,当经过直线l的某一个平面与平面垂直时,直线l垂直于平面不一定成立,所以“经过直线l的某一个平面与平面垂直”是“直线l垂直于平面”的必要不充分条件.故选ABC.10.若直线l的方
9、向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为=(-2,0,-4),则不正确的是(ACD)(A)l(B)l(C)l(D)l与斜交解析:易知a,所以l.ACD不正确,故选ACD.11.若四面体的三视图如图所示,则以下判断中,不正确的是(ABD)(A)该四面体的所有对棱都互相垂直(B)该四面体恰有三个面是直角三角形(C)该四面体中,棱与面互相垂直的恰有两对(D)该四面体中,面与面互相垂直的恰有四对解析:结合三视图,得到:图中OABC即为原图,A选项错误,如AB和OC不垂直;B选项四个面都是直角三角形,错误;C选项棱和面互相垂直的有AO与平面OCB,BC和平面ABO,故正确;D选项面面垂直有3对,故错误
10、.故选ABD.12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,现有下列结论,其中正确的有(ABD)(A)ACBE(B)平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF(C)异面直线AE,BF所成的角为定值(D)三棱锥ABEF的体积为定值解析:在正方体中可得AC平面BDD1B1,故ACBE,A正确;平面AEF平面A1B1C1D1=EF,设平面AEF平面ABCD=l,由平面ABCD平面A1B1C1D1知EFl,即B正确;当F在B1的位置时,E为B1D1的中点O,A1AO为异面直线AE,BF所成的角,当E在D1的位置时,F在O的位置,OBC1为AE与BF所
11、成的角,因为A1AOOBC1,所以C不正确;SBEF为定值,A到平面BEF的距离即为A到平面BB1D1的距离为定值,即D正确.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆锥的母线长为2r,底面圆半径长为r,圆心为O,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径,如图所示.若点C是底面圆周上一点,且OC与母线PB所成角等于60,则MC与底面所成角的正弦值为.解析:过M点作MQAB,垂足为Q,连接CQ,OM,如图所示,结合题意可知,MOC=60或120,MO=r,OC=r,结合余弦定理可知cosMOC=,代入,解得MC=r或r,而MQ为三角形APO的中位线,所以MQ=r,
12、因为PO垂直于底面,而MQ平行PO,可知MQ垂直于底面,故MCQ即为MC与底面所成角,所以sinMCQ=或.答案:或14.一个棱长为5的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为.解析:因为小正四面体在纸盒内可以任意转动,所以小正四面体棱长最大时其外接球是纸盒的内切球.若正四面体的棱长为a,则内切球的半径为a,外接球的半径是a,所以纸盒的内切球半径是5=,设小正四面体的棱长是x,则=x,解得x=,所以小正四面体的棱长的最大值为.答案:15.如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且ABCD,若平面S
13、AD平面SBC=l.现有以下四个结论:AD平面SBC;lAD;若E是底面圆周上的动点,则SAE的最大面积等于SAB的面积;l与平面SCD所成的角为45.其中正确结论的序号是.解析:由AB和CD是圆O的直径及ABCD,得四边形ACBD为正方形,则ADBC,从而AD平面SBC,故正确;又因为AD平面SAD,且SAD平面SBC=l,所以lAD,故正确;因为SSAE=SASEsinASE,当ASB为钝角时,(SSAE)maxSSAB,当ASB为锐角或直角时,(SSAE)max=SSAB,故不正确;由lAD,得l与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角,即为ADO,易知ADO=45,故正确.答案
14、:16.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ,表面积为.解析:设球半径为R,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4,球心到截面圆圆心的距离为R-2,所以由42+(R-2)2=R2,得R=5.所以球的体积为V=R3=53=.球的表面积S=4R2=425=100.答案:100四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且DAB=60,EFAC,AD=2,EA=ED=EF=.(1)证明:ADB
15、E;(2)若BE=,求三棱锥FABD的体积.(1)证明:如图,取AD的中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EOAD.因为四边形ABCD为菱形,所以AB=AD,因为DAB=60,所以ABD为等边三角形,所以BA=BD,所以BOAD.因为BOEO=O,所以AD平面BEO.因为BE平面BEO,所以ADBE.(2)解:在EAD中,EA=ED=,AD=2,所以EO=.因为ABD为等边三角形,所以AB=BD=AD=2,BO=.因为BE=,所以EO2+OB2=BE2,所以EOOB.又因为EOAD,ADOB=O,所以EO平面ABCD.因为EFAC,SABD=ADOB=2=,所以=SABDEO=.18.
16、(本小题满分12分)如图,O的直径AB=4,点C,D为O上两点,且CAB=45,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图).(1)求证:OF平面ACD;(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE平面ACD?若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:连接CO,由CAB=45,知COB=90,又因为F为的中点,所以FOB=45,因此OFAC,又AC平面ACD,OF平面ACD,所以OF平面ACD.(2)解:存在,E为AD中点.连接OD,因为OA=OD,所以OEAD.又OCAB且两半圆所在平面互相垂直,所以OC平面OAD.又AD平面OAD,所以ADOC,由于OE,
17、OC是平面OCE内的两条相交直线,所以AD平面OCE.又AD平面ACD,所以平面OCE平面ACD.19.(本小题满分12分)如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且C1E=3EC.(1)证明:A1C平面BED;(2)求二面角A1DEB的余弦值.(1)证明:以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,射线DC为y轴的正半轴,射线DD1为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,即可得出B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),所以=(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4),=(2,0,4).因为=0,=0
18、,所以A1CBD,A1CDE,因为BDDE=D,所以A1C平面BED.(2)解:设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,则n,n,故2y+z=0,2x+4z=0.令y=1,则z=-2,x=4,n=(4,1,-2),等于二面角A1DEB的平面角,所以cos=.即二面角A1DEB的余弦值为.20.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,EP=,BP=2,AD=AE=1,AEEP,AEBP,G,F分别是BP,BC的中点.(1)求证:平面AFG平面PCE;(2)求二面角DBEA的正切值.(1)证明:因为G是BP的中点,BP=2,所以PG=BP=1.又因为A
19、E=1,AEBP,所以AEPG,且AE=PG,所以四边形AEPG是平行四边形,所以AGEP.又因为AG平面PCE,EP平面PCE,所以AG平面PCE.因为G,F分别是BP,BC的中点,所以FGPC.又因为PC平面PCE,FG平面PCE,所以FG平面PCE.又因为AGFG=G,AG平面AFG,FG平面AFG,所以平面AFG平面PCE.(2)解:以A为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,则 E(1,0,0),D(0,0,1),B(-1,0),所以=(-1,0,1),=(-2,0).设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则令x=,得y=2,z=,所以n=(,2,).易知平面ABE的一个法向量为
20、m=(0,0,1).所以cos=,sin=.又因为二面角DBEA的平面角为锐角,所以二面角DBEA的正切值为=.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA底面ABCD,ABC=60,AB=,AD=2,AP=3.(1)求证:平面PCA平面PCD;(2)设E为侧棱PC上一点,若直线BE与底面ABCD所成的角为45,求二面角EABD的余弦值.(1)证明:在平行四边形ABCD中,ADC=ABC=60,CD=AB=,AD=2,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=12+3-22cos 60=9,所以AC2+CD2=AD2,所以ACD=90,
21、即CDAC.因为PA底面ABCD,CD底面ABCD,所以PACD.又ACPA=A,所以CD平面PCA.又CD平面PCD,所以平面PCA平面PCD.(2)解:如图,以A为坐标原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,3,0),D(-,3,0),P(0,0,3),所以=(0,3,-3),=(,0,0).设E(x,y,z),=(01),则(x,y,z-3)=(0,3,-3),所以x=0,y=3,z=3-3,即点E的坐标为(0,3,3-3),所以=(-,3,3-3),又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以sin
22、45=|cos|=,解得=,所以点E的坐标为(0,1,2),所以=(0,1,2).设平面EAB的法向量为m=(x,y,z),由得令z=1,得平面EAB的一个法向量为m=(0,-2,1)所以cos=.又二面角EABD的平面角为锐角,所以二面角EABD的余弦值为.22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA=AB=2,点M为棱PC的中点,点E,F分别为棱AB,BC上的动点(E,F与所在棱的端点不重合),且满足BE=BF.(1)证明:平面PEF平面MBD;(2)当三棱锥FPEC的体积最大时,求二面角CMFE的余弦值.(1)证明:因为PA底面ABC
23、D,ABAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则P(0,0,2),M(1,1,1),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).设E(t,0,0)(0t2),则F(2,2-t,0).=(t,0,-2),=(2,2-t,-2),=(1,-1,-1),=(-1,1,-1).设m1=(a1,b1,c1)为平面PEF的法向量,则即可取m1=(2,-2,t).设m2=(a2,b2,c2)为平面MBD的法向量,则即可取m2=(1,1,0).因为m1m2=21-21+t0=0,所以m1m2.所以平面PEF平面MBD.(2)解:设BE=BF=x,由题意知,SCEF=(2-x)x,又PA=2,所以=(2-x)x2=(2-x)x=-(x-1)2+.易知当三棱锥FPEC的体积最大时,x=1,即此时E,F分别为棱AB,BC的中点.则F(2,1,0),E(1,0,0).所以=(1,0,-1),=(-1,-1,0),=(0,1,0).设n=(x1,y1,z1)是平面MEF的法向量,则即可取n=(1,-1,1).设m=(x2,y2,z2)是平面MCF的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos=.由图知所求二面角为钝二面角,所以二面角CMFE的余弦值为-.
