1、天津一中2015届高三上学期3月月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位,则|(1i)|等于( )A0B4C2D考点:复数代数形式的乘除运算 专题:计算题;数系的扩充和复数分析:根据复数的四则运算进行化简即可解答:解:1i=1i+2i=1+i,|1+i|=,故选:D点评:本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算,比较基础2等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=( )An(n+1)Bn(n1)CD考点:等差数列的性质 专题:等差数列与等比数列分析:由题意可得a4
2、2=(a44)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得解答:解:由题意可得a42=a2a8,即a42=(a44)(a4+8),解得a4=8,a1=a432=2,Sn=na1+d,=2n+2=n(n+1),故选:A点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题3执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( )A5B6C7D8考点:程序框图 专题:算法和程序框图分析:根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件n117时,确定输出i的值解答:解:由程序框图知:程序第一次运行n=124=8,i=1+1=2;第二次运行n=48+1=33,i=2+1=3;第三次运行n=334=29,
3、i=3+1=4;第四次运行n=429+1=117,i=4+1=5;第五次运行n=1174=113,i=5+1=6;第六次运行n=1134+1=452,i=6+1=7此时满足条件n117,输出i=7故选:C点评:本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法4等比数列an中,a10,则“a1a4”是“a3a5”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题:规律型分析:结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答:解:在等比数列中设公比为q,则由
4、a1a4,得a1a1q3,a10,q31,即q1由“a3a5”得,即q21,q1或q1“a1a4”是“a3a5”的充分不必要条件故选:A点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的运算性质是解决本题的关键,比较基础5函数的单调减区间为( )A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)考点:复合三角函数的单调性 专题:计算题分析:观察可知函数是由,t=sin(2x+)构成的复合函数,由复合函数的单调性,只要求得t=sin(2x+)增区间中的大于部分即可解答:解:令:,t=sin(2x+)2k2x+2k+kxk+由复合函数的单调性可知:函数的单调减区间为(kZ)故选B点评:本题主要查复合
5、函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,如本题在真数位置要大于零6设F1、F2分别为双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M,N两点,且满足MAN=120,则该双曲线的离心率为( )ABCD考点:双曲线的简单性质 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:先求出M,N的坐标,再利用余弦定理,求出a,c之间的关系,即可得出双曲线的离心率解答:解:不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x00),则N点的坐标为(x0,y0),联立y0=x0,得M(a,b),N(a,b),又A(a,0)且MAN=120,所以由余弦定理得4
6、c2=(a+a)2+b2+b22bcos 120,化简得7a2=3c2,求得e=故选A点评:本题主要考查双曲线的离心率解决本题的关键在于求出a,c的关系7ABC中,AB=10,AC=15,BAC=,点D是边AB的中点,点E在直线AC上,且=3,直线CD与BE相交于点P,则|为( )ABC2D2考点:向量在几何中的应用 专题:平面向量及应用分析:利用向量的关系,建立坐标系,求出相关点的坐标,然后求解向量的模即可解答:解:ABC中,AB=10,AC=15,BAC=,点D是边AB的中点,点E在直线AC上,且=3,可得:AEBE,以BE所在直线为x轴,EA所在直线为y轴,如图:A(0,5),BE=5,
7、B(5,0),D(,),C(0,10),CD的方程为:,令y=0,可得x=2,P(2,0)|=故选:A点评:本题考查向量的几何中的应用,向量的坐标运算,向量的模,考查计算能力8已知函数f(x)=,若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1x2x3x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则的取值范围是( )A(0,12)B(4,16)C(9,21)D(15,25)考点:分段函数的应用 专题:计算题;数形结合;函数的性质及应用分析:画出函数f(x)的图象,确定x1x2=1,x3+x4=12,2x34,8x410,由此可得的取值范围解答:解:函数的图象如图所示,f(x1)=f(x2)
8、,log2x1=log2x2,log2x1x2=0,x1x2=1,f(x3)=f(x4),x3+x4=12,2x3x410=x3x42(x3+x4)+4=x3x420,2x34,8x410的取值范围是(0,12)故选:A点评:本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在题中横线上9某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是1616考点:由三视图求面积、体积 专题:空间位置关系与距离分析:首先判断该几何体的形状,然后计算
9、其体积即可解答:解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4故其体积为:224224=1616,故答案为:1616点评:本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱,然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可10设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值为3考点:简单线性规划 专题:计算题分析:先根据条件画出可行域,设z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距,只需求出直线z=2x+y,过可行域内的点B(1,1)时的最小值,从而得到z最小值
10、即可解答:解:设变量x、y满足约束条件,在坐标系中画出可行域ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数z=2x+y的最小值为3故答案为:3点评:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定11已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2+y2=5相切,且与直线axy+1=0垂直,则a=2考点:圆的切线方程 专题:计算题;直线与圆分析:由题意判断点在圆上,求出P与圆心连线的斜率就是直线axy+1=0的斜率,然后求出a的值即可解答:解:因为点P(2,2)满足圆(x1)2+y2=5的方程,所以P在圆上,又过点P(2
11、,2)的直线与圆(x1)2+y2=5相切,且与直线axy+1=0垂直,所以切点与圆心连线与直线axy+1=0平行,所以直线axy+1=0的斜率为:a=2故答案为:2点评:本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线的垂直,考查转化数学与计算能力12已知函数,则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是(1,1)考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法;其他不等式的解法 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用分析:由题意f(x)在0,+)上是增函数,而x0时,f(x)=1,故满足不等式f(1x2)f(2x)的x需满足,解出x即可解答:解:由题意,可得故答案为:点评:本题考查分段函数的单调性,利用
12、单调性解不等式,考查利用所学知识分析问题解决问题的能力13如图,在ABC和ACD中,ACB=ADC=90,BAC=CAD,O是以AB为直径的圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E若EB=6,EC=6,则BC的长为2考点:与圆有关的比例线段 专题:直线与圆分析:连接OC,由弦切角定理推导出OCAD由ADDC,得到DCOC,由切割线定理得到EC2=EBEA再由已条件推导出ECBEAC,由此能求出BC长解答:解:AB是O的直径,ACB=90,点C在O上连接OC,由弦切角定理得OCA=OAC=DAC,OCAD又ADDC,DCOCOC为O半径,DC是O的切线DC是O的切线,EC2=EBEA又EB=6,E
13、C=6,EA=12,AB=6又ECB=EAC,CEB=AEC,ECBEAC,=,AC=BC又AC2+BC2=AB2=36,BC=2故答案为:2点评:本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用14设正实数x,y,z满足x23xy+4y2z=0,则当取得最小值时,x+2yz的最大值为2考点:基本不等式 专题:综合题分析:将z=x23xy+4y2代入,利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件,用x,z表示y后利用配方法求得x+2yz的最大值解答:解:x23xy+4y2z=0,z=x23xy+4y2,又x,y,z为正实数,=+323=1(当且仅
14、当x=2y时取“=”),即x=2y(y0),x+2yz=2y+2y(x23xy+4y2)=4y2y2=2(y1)2+22x+2yz的最大值为2故答案为:2点评:本题考查基本不等式,将z=x23xy+4y2代入,求得取得最小值时x=2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100()求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;()若在
15、这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率考点:古典概型及其概率计算公式 专题:概率与统计分析:()先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;()先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案解答:解:()A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,故抽样比k=,故A地区抽取的商品的数量为:50=1;B地区抽取的商品的数量为:150=3;C地区抽取的商品的数量为:100=2;()在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;且这些事
16、件是等可能发生的,记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,则A中包含=4种不同的基本事件,故P(A)=,即这2件商品来自相同地区的概率为点评:本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题16函数的部分图象如图所示,将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象(1)求函数y=g(x)的解析式;(2)若ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列,且,求cosAcosC的值考点:由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(x+)的图象变换 专题:三角函数的图像与性质分析:(1)利用周期求,利用最高点的
17、坐标,求出的值,再利用图象平移,可求函数y=g(x)的解析式;(2)先求出B,再令cosAcosC=t,则(sinA+sinC)2+(cosAcosC)2=2+t2,从而可得结论解答:解:(1)由图知:,即,由于,函数y=g(x)的解析式为(2)由于a,b,c成等差,且,令cosAcosC=t,则(sinA+sinC)2+(cosAcosC)2=2+t2,由于t0,点评:本题考查函数解析式的确定,考查图象的平移,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题17如图,在锥体PABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点(1)证明:AD平面D
18、EF(2)求二面角PADB的余弦值考点:与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法 专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何分析:(1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直,利用60角菱形的特征可以发现ADDE,通过取出AD的中点构造一个平面可以证明ADEF;(2)利用(1)中的结论找到二面角PADB的平面角是解决本题的关键,求角往往要利用三角形中的余弦定理解答:解:(1)取AD的中点G,连接PG,BG,在ABG中,根据余弦定理可以算出BG=,发现AG2+BG2=AB2,可以得出ADBG,又DEBGDEAD,又PA=PD,可以得出AD
19、PG,而PGBG=G,AD平面PBG,而PB平面PBG,ADPB,又PBEF,ADEF又EFDE=E,AD平面DEF(2)由(1)知,AD平面PBG,所以PGB为二面角PADB的平面角,在PBG中,PG=,BG=,PB=2,由余弦定理得cosPGB=,因此二面角PADB的余弦值为点评:本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识和学生的运算能力,属于基本的立体几何题18已知椭圆+=1(ab0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(I)求椭圆的方程 ()若直
20、线l:y=x+m与椭圆交于A,B两点,与以+=1(ab0)为直径的圆交于F1,F2两点,且满足D,求直线DF1F1F2的方程考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题分析:()根据椭圆得定义,离心率得定义,构造方程组,解得即可;()由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1,得到圆心到直线的l的距离为d,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长,即可求出m的值,问题得以解决解答:解:()由题意可得,解得a=2,b=,c=1,椭圆得方程为,()由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=
21、1,圆心到直线的l的距离为d=,由d1,即1,可得|m|,|CD|=2=2=,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得x2mx+m23=0,x1+x2=m,x1x2=m23,|AB|=,=1,解得m=,且满足|m|,直线l的方程为y=x+,或y=x点评:本题考查了椭圆得标准方程,弦长公式,点到直线距离公式,考查了学生得转化能力,运算能力,属于中档题19设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1()求数列an的通项公式;()设数列bn满足=1,nN*,求bn的前n项和Tn考点:数列递推式;等差数列的前n项和;数列的求和 专题:等差数列与等比数列分析:()设等差数
22、列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组,解之即可求得数列an的通项公式;()由()知,an=2n1,继而可求得bn=,nN*,于是Tn=+,利用错位相减法即可求得Tn解答:解:()设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1得:,解得a1=1,d=2an=2n1,nN*()由已知+=1,nN*,得:当n=1时,=,当n2时,=(1)(1)=,显然,n=1时符合=,nN*由()知,an=2n1,nN*bn=,nN*又Tn=+,Tn=+,两式相减得:Tn=+(+)=Tn=3点评:本题考查数列递推式,着重考查等差数列的通项
23、公式与数列求和,突出考查错位相减法求和,考查分析运算能力,属于中档题20已知函数f(x)=+ax+b的图象在点P(0,f(0)处的切线方程为y=3x2(1)求实数a,b的值;(2)设g(x)=f(x)+是2,+)上的增函数求实数m的最大值;当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程 专题:综合题;导数的综合应用分析:(1)求导函数,利用在点P(0,f(0)处的切线方程为y=3x2,建立
24、方程组,即可求实数a,b的值;(2)求导函数,利用g(x)是2,+)上的增函数,可得g(x)0在2,+)上恒成立,进一步利用换元法,确定函数的最值,即可求得m的最大值;由得g(x)=,证明图象关于点Q(1,)成中心对称即可解答:解:(1)求导函数可得f(x)=x22x+a函数在点P(0,f(0)处的切线方程为y=3x2,(2)由=,得g(x)=g(x)是2,+)上的增函数,g(x)0在2,+)上恒成立,即在2,+)上恒成立设(x1)2=t,x2,+),t1,不等式t+20在1,+)上恒成立当m0时,不等式t+20在1,+)上恒成立当m0时,设y=t+2,t1,+)因为y=1+0,所以函数y=t+2在1,+)上单调递增,因此ymin=3mymin0,3m0,即m3,又m0,故0m3综上,m的最大值为3由得g(x)=,其图象关于点Q(1,)成中心对称证明如下:g(x)=,g(2x)=因此,g(x)+g(2x)=函数g(x)的图象关于点Q成中心对称存在点Q(1,),使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查图象的对称性,属于中档题