1、天津一中2015届高三上学期3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，则|（1i）|等于( )A0B4C2D考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：根据复数的四则运算进行化简即可解答：解：1i=1i+2i=1+i，|1+i|=，故选：D点评：本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础2等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=( )An（n+1）Bn（n1）CD考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a4
2、2=（a44）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得解答：解：由题意可得a42=a2a8，即a42=（a44）（a4+8），解得a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1），故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题3执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是( )A5B6C7D8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n117时，确定输出i的值解答：解：由程序框图知：程序第一次运行n=124=8，i=1+1=2；第二次运行n=48+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=334=29，
3、i=3+1=4；第四次运行n=429+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=1174=113，i=5+1=6；第六次运行n=1134+1=452，i=6+1=7此时满足条件n117，输出i=7故选：C点评：本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法4等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：规律型分析：结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：在等比数列中设公比为q，则由
4、a1a4，得a1a1q3，a10，q31，即q1由“a3a5”得，即q21，q1或q1“a1a4”是“a3a5”的充分不必要条件故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键，比较基础5函数的单调减区间为( )A（kZ）B（kZ）C（kZ）D（kZ）考点：复合三角函数的单调性 专题：计算题分析：观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可解答：解：令：，t=sin（2x+）2k2x+2k+kxk+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（kZ）故选B点评：本题主要查复合
5、函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，如本题在真数位置要大于零6设F1、F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足MAN=120，则该双曲线的离心率为( )ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率解答：解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x00），则N点的坐标为（x0，y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（a，b），又A（a，0）且MAN=120，所以由余弦定理得4
6、c2=（a+a）2+b2+b22bcos 120，化简得7a2=3c2，求得e=故选A点评：本题主要考查双曲线的离心率解决本题的关键在于求出a，c的关系7ABC中，AB=10，AC=15，BAC=，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且=3，直线CD与BE相交于点P，则|为( )ABC2D2考点：向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用分析：利用向量的关系，建立坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的模即可解答：解：ABC中，AB=10，AC=15，BAC=，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且=3，可得：AEBE，以BE所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，如图：A（0，5），BE=5，
7、B（5，0），D（，），C（0，10），CD的方程为：，令y=0，可得x=2，P（2，0）|=故选：A点评：本题考查向量的几何中的应用，向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力8已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是( )A（0，12）B（4，16）C（9，21）D（15，25）考点：分段函数的应用 专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2x34，8x410，由此可得的取值范围解答：解：函数的图象如图所示，f（x1）=f（x2）
8、，log2x1=log2x2，log2x1x2=0，x1x2=1，f（x3）=f（x4），x3+x4=12，2x3x410=x3x42（x3+x4）+4=x3x420，2x34，8x410的取值范围是（0，12）故选：A点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是1616考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：首先判断该几何体的形状，然后计算
9、其体积即可解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4故其体积为：224224=1616，故答案为：1616点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可10设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值
10、即可解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3故答案为：3点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定11已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5相切，且与直线axy+1=0垂直，则a=2考点：圆的切线方程 专题：计算题；直线与圆分析：由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线axy+1=0的斜率，然后求出a的值即可解答：解：因为点P（2，2）满足圆（x1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2
11、，2）的直线与圆（x1）2+y2=5相切，且与直线axy+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+1=0平行，所以直线axy+1=0的斜率为：a=2故答案为：2点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力12已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可解答：解：由题意，可得故答案为：点评：本题考查分段函数的单调性，利用
12、单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力13如图，在ABC和ACD中，ACB=ADC=90，BAC=CAD，O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E若EB=6，EC=6，则BC的长为2考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：连接OC，由弦切角定理推导出OCAD由ADDC，得到DCOC，由切割线定理得到EC2=EBEA再由已条件推导出ECBEAC，由此能求出BC长解答：解：AB是O的直径，ACB=90，点C在O上连接OC，由弦切角定理得OCA=OAC=DAC，OCAD又ADDC，DCOCOC为O半径，DC是O的切线DC是O的切线，EC2=EBEA又EB=6，E
13、C=6，EA=12，AB=6又ECB=EAC，CEB=AEC，ECBEAC，=，AC=BC又AC2+BC2=AB2=36，BC=2故答案为：2点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用14设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为2考点：基本不等式 专题：综合题分析：将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2yz的最大值解答：解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅
14、当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz的最大值为2故答案为：2点评：本题考查基本不等式，将z=x23xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（）若在
15、这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：（）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k=，故A地区抽取的商品的数量为：50=1；B地区抽取的商品的数量为：150=3；C地区抽取的商品的数量为：100=2；（）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事
16、件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题16函数的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列，且，求cosAcosC的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用周期求，利用最高点的
17、坐标，求出的值，再利用图象平移，可求函数y=g（x）的解析式；（2）先求出B，再令cosAcosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosAcosC）2=2+t2，从而可得结论解答：解：（1）由图知：，即，由于，函数y=g（x）的解析式为（2）由于a，b，c成等差，且，令cosAcosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosAcosC）2=2+t2，由于t0，点评：本题考查函数解析式的确定，考查图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB=60，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD平面D
18、EF（2）求二面角PADB的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60角菱形的特征可以发现ADDE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明ADEF；（2）利用（1）中的结论找到二面角PADB的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出ADBG，又DEBGDEAD，又PA=PD，可以得出AD
19、PG，而PGBG=G，AD平面PBG，而PB平面PBG，ADPB，又PBEF，ADEF又EFDE=E，AD平面DEF（2）由（1）知，AD平面PBG，所以PGB为二面角PADB的平面角，在PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cosPGB=，因此二面角PADB的余弦值为点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题18已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）（I）求椭圆的方程 （）若直
20、线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与以+=1（ab0）为直径的圆交于F1，F2两点，且满足D，求直线DF1F1F2的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）根据椭圆得定义，离心率得定义，构造方程组，解得即可；（）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，得到圆心到直线的l的距离为d，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长，即可求出m的值，问题得以解决解答：解：（）由题意可得，解得a=2，b=，c=1，椭圆得方程为，（）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=
21、1，圆心到直线的l的距离为d=，由d1，即1，可得|m|，|CD|=2=2=，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2mx+m23=0，x1+x2=m，x1x2=m23，|AB|=，=1，解得m=，且满足|m|，直线l的方程为y=x+，或y=x点评：本题考查了椭圆得标准方程，弦长公式，点到直线距离公式，考查了学生得转化能力，运算能力，属于中档题19设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设等差数
22、列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn解答：解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时，=，当n2时，=（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得：Tn=+（+）=Tn=3点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项
23、公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题20已知函数f（x）=+ax+b的图象在点P（0，f（0）处的切线方程为y=3x2（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）+是2，+）上的增函数求实数m的最大值；当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0）处的切线方程为y=3x2，建立
24、方程组，即可求实数a，b的值；（2）求导函数，利用g（x）是2，+）上的增函数，可得g（x）0在2，+）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；由得g（x）=，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可解答：解：（1）求导函数可得f（x）=x22x+a函数在点P（0，f（0）处的切线方程为y=3x2，（2）由=，得g（x）=g（x）是2，+）上的增函数，g（x）0在2，+）上恒成立，即在2，+）上恒成立设（x1）2=t，x2，+），t1，不等式t+20在1，+）上恒成立当m0时，不等式t+20在1，+）上恒成立当m0时，设y=t+2，t1，+）因为y=1+0，所以函数y=t+2在1，+）上单调递增，因此ymin=3mymin0，3m0，即m3，又m0，故0m3综上，m的最大值为3由得g（x）=，其图象关于点Q（1，）成中心对称证明如下：g（x）=，g（2x）=因此，g（x）+g（2x）=函数g（x）的图象关于点Q成中心对称存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题