1、多维层次练48A级基础巩固1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4B3C2D5解析：由题意知，在PF1F2中，|OM|PF2|3，所以|PF2|6，所以|PF1|2a|PF2|1064.答案：A2(2020南昌三中期末)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：因为AF1B的周长为4，且AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|2a2a4a，所以4a4，所以a，因为离心率为，所以，解得
2、c1，所以b，所以椭圆C的方程为1.答案：A3(2020青岛十六中周考)若曲线1表示椭圆，则k的取值范围是()Ak1 Bk1C1k1 D1k0或0k1解析：因为曲线1表示椭圆，所以解得1k1，且k0，则1k0或0k1.答案：D4(2020东营市联考)设F1，F2是椭圆1(0b2)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：因1，则a2，由0bb0)，可得：1，a2b25，解得a，b，故所求的椭圆方程为1.答案：C6已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(5，4)，则椭圆的标准方程为_解析：由题意
3、设椭圆的标准方程为1(ab0)由离心率e可得a25c2，所以b24c2，故椭圆的方程为1，将P(5，4)代入可得c29，故椭圆的方程为1.答案：17如图所示，椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为_解析：由题意知|F1F2|2，因为|PF1|4，|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a4，在F1PF2中，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3.答案：38(2020雅礼中学质检)已知点P是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知F1PF2120，且|PF1|3|PF2|，则椭圆的离心率为_解析：点P是椭
4、圆1(ab0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，因为F1PF2120，且|PF1|3|PF2|，如图所示，设|PF2|m，则|PF1|3m，则可得4c213，解得e.答案：9已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为1.(2)易知|yP|4，又c3，所以SF1PF2|yP|2c4612.10(2020青岛二中月考)已知椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|2，椭圆的离
5、心率为e.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围解：(1)由题意，因为|F1F2|2，椭圆的离心率为e，所以c1，a2，所以b，所以椭圆的标准方程为1.(2)设P(x0，y0)，A(2，0)，F1(1，0)，所以(1x0)(2x0)yx3x02y，因为P点在椭圆上，所以1，y3x，所以x3x05，由椭圆方程得2x02，二次函数x3x05的开口向上，对称轴x06b0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|，若cosAF2B，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D.解析：设|BF1|k(k0)，则|AF1|3k，|AB|4k，所以|
6、AF2|2a3k，|BF2|2ak，因为cosAF2B，在ABF2中，由余弦定理得：|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，所以(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k，所以|AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|AB|4k，所以|BF2|2|AF2|2|AB|2，所以AF1AF2，且AF1AF23k，所以AF1F2是等腰直角三角形，(2c)22a2，所以ca，所以椭圆的离心率e.答案：D12(2020青岛实验高中测试)方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_解析：因为方程1表示焦点在y
7、轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为1，满足1m2m0，解之得0m.答案：0mb0)，则c1.因为1，即(ac)(ac)1a2c2，所以a22，故椭圆方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为M(0，1)，F(1，0)，故kPQ1，于是可设直线l的方程为yxm.联立得3x24mx2m220，则x1x2，x1x2.因为0x1(x21)y2(y11)，又yixim(i1，2)，得x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0，所以2(m1)m2m0，解得m或m1(舍去)经检验m符合条件，所
8、以直线l的方程为yx.故存在直线l，使得点F恰为PQM的垂心，此时l的方程为yx.C级素养升华14(多选题)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D3x24y212解析：由题意知e，所以e2，即a2b2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2y2b2.由题意可知b，所以a24，b23.故椭圆C的方程为1，即3x24y212.答案：CD素养培育数学运算离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化近年来，涉及离心率的问题频频出现在高
9、考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性1巧求离心率的值典例1我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：设|F1P|m，|F2P|n，|F1F2|2c，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，设a1是椭圆的长半轴
10、，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得mn2a1，mn2a2，所以ma1a2，na1a2，代入上式得4c23aa，又它们的离心率互为倒数，1，即c2a1a2，代入4c23aa得3a4a1a2a0，a13a2，e1e21，即3e1，所以e1.答案：A2求离心率的取值范围典例2设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D1，1)解析：设椭圆左焦点为F，连接AF、BF.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0，即FAFB，故平行四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2
11、c.设|AF|n，|AF|m，则在直角三角形AFF中mn2a，m2n24c2，得mn2b2，得，令t，得t.又由|FB|FA|2|FB|得12，则t1，2，所以t，又，则可得e，即离心率的取值范围是.答案：A3探寻离心率的最值典例3已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B. C3D2解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由r1r22a1，r1r22a2，得r1a1a2，r2a1a2，所以.令m，当时，mmax，所以，即的最大值为.答案：A
