1、第4节 幂函数与二次函数 A级基础巩固1(多选题)已知二次函数f(x)x22ax1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围可以是()A(，2 B2，3C3，) D3，2解析：f(x)图象的对称轴为xa，若f(x)在(2，3)上单调递增，则a2，若f(x)在(2，3)上单调递减，则a3，因此选项A、C、D满足答案：ACD2已知p：|m1|1，q：幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：p：由|m1|1得2m0，q：因为幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减所以m2m11，且m0，解得m1.
2、所以p是q的必要不充分条件答案：B3(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析：设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.所以Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关答案：B4(2020广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)x3m与函数g(x)f(x)x3x2kx在1，1是具有相同的单调性，则k的取值范围是()A(，2) B2，)C2，2 D(，22，)解析：易知f(x)x3m在R上是减函数
3、依题设，函数g(x)x2kxm在1，1上单调递减，所以抛物线的对称轴1，所以k2.答案：B5(多选题)已知定义在1a，2a5上的偶函数f(x)在0，2a5上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是()Af(x)x2a Bf(x)a|x|Cf(x)xa Df(x)|xa|解析：因为函数f(x)是定义在1a，2a5上的偶函数，所以1a2a50，解得a4，所以函数f(x)的定义域是3，3研究的区间是0，3，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在0，3上是增函数，B项f(x)a|x|在0，3上是减函数，D项不是偶函数，故选AC.答案：AC6(2020荆州质检)若对任意xa，a2均有(3xa)38x3，则
4、实数a的取值范围是()A(，2 B(，1C(，0 D0，)解析：因为yx3在R上是增函数，由(3xa)38x3，得3xa2x，即xa，所以xa，a2时，xa恒成立所以a2a，因此a1.答案：B7已知幂函数f(x)xa的图象过点，则函数g(x)(x1)f(x)在区间上的最小值是_，最大值为_解析：由f(x)x的图象过点，得2a，知a1，所以g(x)1在上单调递增，所以g(x)min121，g(x)maxg(2).答案：18已知函数f(x)为幂函数，且f(4)，则当f(a)4f(a3)时，实数a等于_解析：设f(x)xa，则4a，所以a.因此f(x)x，从而a4(a3)，解得a.答案：9设函数f(
5、x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_解析：由题意得a对1x4恒成立，又2，.答案：10已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围解：(1)依题意得：(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m0.(2)由(1)得，f(x)x2，当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)，当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)，因p是q成立的
6、必要条件，则BA，则即得0k1.故实数k的取值范围是0，1B级能力提升11.幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图所示)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a()A0 B1C. D2解析：因为BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐标分别代入yxa，yxb，得alog，blog.所以alog0.答案：A12.右图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a
7、0，即b24ac，正确对称轴为x1，即1，2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a.所以5ab，正确答案：13已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1，1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以2a2，且ab0，解得a1，b1.又f(0)1，所以c1.因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1，1时，yf(x)的图象恒在
8、y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立即x23x1m在区间1，1上恒成立所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1)C级素养升华14(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数yx2bxc的图象经过点(1，0)，求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称”根据已知消息，题中二次函数的图象具有的性质是()A在x轴上截得的线段长是2B与y轴交于点(0，3)C顶点为(2，2)D过点(3，0)解析：因为函数图象过点(1，0)，且对称轴是直线x2，所以可求得函数的解析式为yx24x3.令y0，得x1或x3，所以在x轴上截得的线段长是2，故A正确；令x0，可得该函数图象与y轴的交点为(0，3)，故B正确；由函数的解析式可得其图象的顶点坐标为(2，1)，故C错误；易知该函数图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，故D正确答案：ABD
