1、走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航命题预测：本章内容高考命题形式比较稳定，难易适中，每年都是12道选择题，1道填空题，1道解答题，具体地说：1利用组合选考查空间概念所谓组合选就是将多重选择题进行组合，改编成单选题利用组合选考查直线与平面的位置关系，可以使试题更全面地考查立体几何的基础知识和基本方法走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识
2、梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航2以多面体为载体，重点考查空间距离和角因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能够考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起，可以比较全面、准确地考查学生的空间想象能力、思维能力以及分析问题和解决问题的能力3利用开放题检测考生的素质和能力在连续两年的高考立体几何填空题中都出现了开放题这种题型在考查考生思维能力、推动素质教育健康发展的过程中具有独特的功效和导向作用，应予以重视走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航4以多面体和旋转体为载体，重点考查直
3、线和平面的位置关系、几何体中角和距离的计算以及体积的求法和应用5要重视立体几何中的最值问题这类问题综合性强，对能力要求较高，可以全面地考查考生的数学基础知识和数学素质走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航备考指南：本章的定义、定理多，要注意把握主要知识的系统化，在本章复习中要注意以下几点：1归纳总结，理线串点，从知识上可分为：平面的基本性质；两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；三个角、三个距离，根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，通过一
4、题多解，使学生把所学知识真正学活、会用走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航2抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关因此对于这部分内容复习时要强化3复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想(即化空间问题到平面图形中去解决)，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，这些无不体现着化归转化的思想因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事
5、半功倍的效果走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航基础知识一、平面的基本性质平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，即三个公理和公理3的三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且所有这些公共点的集合是所有的点过这个公共点的一条直线走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何
6、体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航公理3：经过不在同一条直线上的三点，即不共线的三点推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，推论2：经过两条相交直线，推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面确定一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航二、空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么推论：如果两条相
7、交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相交、平行、异面互相平行这两个角相等相等走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(3)异面直线定义：叫做异面直线两条异面直线所成的角(或夹角)对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)若两条异面直线所成的角是，则称这两条异面直线互相垂直异面直线所成的角的范围是(0，不同在任何一个平面内的两条直线锐角(或直角)直角走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上
8、页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航两条异面直线的距离：，叫做两条异面直线的公垂线，叫做两条异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航易错知识一、异面直线判断失误1设a，b是异面直线，给出下列命题：存在平面、使a，b，.存在唯一平面，使a，b与距离相等对任意的相异两点A、B(Aa，Ba)，相异两点C、D(Cb，Db)，直线AC与BD是异面直线存在直线c，使c上任一点到a，b的距离
9、相等其中，正确的命题为_答案：走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航二、异面直线所成的角的范围出错2如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD、BC所成的角为_走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解 题 思 路：取 BD 的 中 点 G，连 结 EG、GF，则EGAD，GFBC，故EGF是AD与BC所成的角(或其补角)在EGF中，EGF120，故AD与BC所成的角为60.
10、走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航失分警示：根据异面直线所成的角的定义，选点平移线是解决问题的关键，而学生在选点方面出现问题对解决该题就会带来困难，另一方面知识模糊，误把120看成异面直线所成的角答案：60走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航回归教材1空间四点中，无三点共线是这四点不共面的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(
11、A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解析：若四点中无三点共线，则可能四点共面如在互相平行的两条直线a、b上各取两点，则这四点共面，但三点不共线；反之若四点不共面必有无三点共线的情况答案：B走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航2(教材P112题改编)在空间内，可以确定一个平面的条件是()A两两相交的三条直线B三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C三个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面；对于B，可确定一
12、个平面、两个平面或三个平面；对于C，可确定一条直线或一个平面；对于D，可确定一个平面答案：D走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航3(教材P83题改编)已知命题：“直线a上两点A、B在内”，那么与命题等价的命题是()AaB平面与直线a相交C直线a上只有这两个点在平面内D直线a上所有的点都在平面内解析：由公理1可知，选D.答案：D走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航4(教材P183题改编)空间四边形的对角线互相垂直且
13、相等，顺次连结各边中点所得四边形为()A梯形 B矩形C正方形D平行四边形走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航EF綊GF，四边形EFGH为平行四边形又ACBD，而EFAC，EFBD，EHEF，四边形EFGH为矩形又ACBD，EFAC，EHBD，EFEH，四边形EFGH为正方形答案：C走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航5在正方体ABCDA1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值为
14、_解 析：设 底 面 ABCD 的 中 心 为 O，连 结 MO，则MOB1D，AMO即为所求角或其补角设正方体棱长为2，则B1D走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航AM2OM2AO2，AOM90(也可用三垂线定理证得)走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航【例 1】(2008 辽 宁，11)在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都
15、相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航命题意图 本题考查空间想象能力及立体几何中的基本思想，本题对空间想象能力要求较高，对于K、M、N共线的证明，用推理论证的方法很难找到思路，因此可借助空间直角坐标系中两点间的距离公式证明三点共线走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解析 方法一：在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它
16、们相交，设CDQ，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交故选D.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航方法二：分别在异面直线A1D1、CD上各任取一点M、N，则线段MN的中点的轨迹构成一个平面，显然直线EF在平面内在EF上任取一点P，点P和直线A1D1确定的平面与直线CD交于点Q，显然直线QP与直线A1D1必有交点R，即这样的直线有无数条故选D.答案 D走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规
17、律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2009 湖南，6)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4 C5 D6答案：C解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件故选C.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化
18、作业课堂题型设计高考导航(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点分析(1)要证E、C、D1、F四点共面，可由这四点连成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(2)中证三点共线，可证两条直线的交点在第三条直线上走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航证明(1)如右图，分别连结EF、A1B、D1C.E、F分别是AB和AA1的中点，EF又A1D1綊B1C1綊BC，A1D1CB是平行四边形A1B綊CD1，从而EFCD1.故E、C、D1、F四点共面走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简
19、单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)EF綊A1B，A1B綊CD1，EF綊 CD1，直线D1F和CE必相交，令D1FCEP，D1F平面A1ADD1，PD1F，P平面A1ADD1.同理P平面ADCB，又平面A1ADD1平面ADCBAD，PAD，故CE、D1F、DA三线共点走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2000全国高考题)求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内解析：已知a、b、c、d四条直线不共点但是两两相交，求证：a、b、c、d共面a
20、、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情况证：走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(1)设有三条直线共点，不失一般性，可设此三条直线为a、b、c，它们均过P点(如下图甲)，此时d必不过点P(因四线不共点)因此过d和点P可以确定一个平面，再设法证明其它三条直线a、b、c均在内即可走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)设没有三条直线共点(如图乙)abQ，a与b可确定一个平面.再设法证明其余两线c、
21、d均在内即可证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点P直线d.直线d和其外一点P可以确定一个平面.又adC，C且点P.直线a平面，同理可证：直线b上有两点B、P在平面内，b平面，c平面，a、b、c、d四线共面走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点abQ，a与b可以确定一个平面.又cbE，Eb，又b平面，E，同理caF，Fa，又a平面，F.直线c上有两点E、F在上，c平面.同理可证d平面，故a、b、c、d四线共面.由(1)、(2)可知：两两相交而不通过同一点的四条直
22、线必在同一平面内.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航【例3】(2008上海四校联测)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，ADAA1a，AB2a，(1)求证：MN平面ADD1A1；(2)求异面直线AE和CD1所成角的余弦值走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解析(1)证明：取CD的中点K，连结MK，NK.M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点，MKAD，NKD
23、D1，MK面ADD1A1，NK面ADD1A1，面MNK面ADD1A1，又MN面MNK，从而MN面ADD1A1.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)取A1D1的中点F，连结AF，EF，则D1F綊CE，从而四边形CEFD1为平行四边形，EFCD1，AEF为异面直线AE和CD1所成的角(或其补角)走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2008北京崇文)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1
24、、C1D1的中点，则异面直线AB1与EF所成的角的大小为_走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航答案：60解析：取DD1的中点M，连结FM，则FMAB1，MFE为所求异面直线所成的角，又E为A1D1中点，EFM为等边.MFE60.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2008桂林重点)异面直线a，b成80角，P为a，b外的一个定点，若过P有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于，则角属于集合()A|040B|40
25、50C|4090 D|5090答案：B走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解析：将两异面直线平移到P点，如图所示：a，b相交成80，100两对角直线m、n为两对角的平分线，l为a，b确定平面的垂线，由图显见：过P作直线与两直线成40角有一条，4050之间有2条，50有3条，5090有4条故选B.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航【例4】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a.求：(1)AB与B1C
26、所成的角；(2)AB与B1C间的距离；(3)AB与B1D间的距离走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航命题意图 主要考查异面直线所成的角及异面直线间的距离解答(1)ABCD，B1CD是AB与B1C所成的角 DC平面BB1C1C，DCB1C.于是DCB190，AB与B1C所成的角为90.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)连BC1交B1C于O，则BOB1C.又AB平面BB1C1C，ABBO.BO是异面直线AB和
27、B1C的公垂线段，易得BO即AB与B1C间的距离为走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(3)ABDC，AB平面B1DC，DC平面B1DC，AB平面B1DC，从而AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离BOB1C，BOCD，B1CDCC，BO平面DB1CBO的长为B到平面B1DC间的距离BOAB与B1D间的距离为走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航总结评述 本题涉及的异面直线夹角与距离的求法是常用方法这种
28、“等价转化”的思想方法是数学中重要思想方法之一，也是考查的重点内容走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航如右图，在棱长都为a的四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点(1)求证：EF是AD和BC的公垂线，并求EF的长；(2)求异面直线AF与CE所成的角走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航解析：(1)连结BE，ABCD是正四面体，E为AD的中点，BECE.又F为BC中点，EFBC，同理EFAD.EF为AD和BC
29、的公垂线走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航(2)取 FD 的 中 点 G，则EGAF，连结CG.CEG为异面直线AF与CE所成的角.故异面直线AF与CE所成的角为arccos.走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航1对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表述2主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航3判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面走向高考高考总复习 数学第九章 直线、平面、简单几何体(A)首页上页下页末页知识梳理规律方法提炼课后强化作业课堂题型设计高考导航
