1、第三章3.23.2.2A组素养自测一、选择题1下列说法正确的是(B)A偶函数的图象一定与y轴相交B奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0C奇函数yf(x)的图象一定过原点D图象过原点的奇函数必是单调函数解析A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B2对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(C)Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(x)f(x)0解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(x)f(x)f 2(x)0，故选C3若yf(x)(xR)是奇函数，则下面坐标表示的
2、点一定在函数yf(x)的图象上的是(C)A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)解析yf(x)是奇函数，f(a)f(a)，(a，f(a)在yf(x)图象上4下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)解析选项A中定义域为1,1，函数解析式为y0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A5若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是(C)A对任意实数a，f(x)在(0，)上是增函数B对任意实数a，f(x)在(0，)上是减函数C存在实数a，使f(x)是偶函数D存在实数a，使f(x)是奇函
3、数解析对于A，取a4.5，则f(1)5.5，f(1.5)1.525.25，f(1)f(1.5)，A错；对于B，取a0，则f(x)x2在(0，)上为增函数，B错；对于C，取a0，则f(x)x2，定义域为(，0)(0，)且f(x)f(x)x2，C对；对于D，假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(1)f(1)，又f(1)1a，f(1)1a，f(1)1a，显然f(1)f(1)，即假设不成立，D错6已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2|x|1，则当x0时，f(x)的解析式为f(x)(D)Ax2|x|1Bx2|x|1Cx2|x|1Dx2|x|1解析若x0，f(x)x2|x|1，f(x)
4、f(x)，f(x)x2|x|1，f(x)x2|x|1.二、填空题7设f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)_0_.解析由奇函数定义，得f(0)f(0)即f(0)f(0)，f(0)0.8设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_5_.解析由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.9若f(x)为偶函数，则f(1)f_0_.解析因为f(x)为偶函数，所以ff(1)f(1)，故f(1)f0.三、解答题10已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式解析f(x)g(x)x2x2，由f
5、(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2又f(x)g(x)x2x2，两式联立得：f(x)x22，g(x)x.11已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1,3时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求mn的值解析当x0时，x0时，f(x)f(x)3xx22.当x时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数因此当x1,3时，f(x)maxf，f(x)minf(3)2.m，n2，从而mn.B组素养提升一、选择题1若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a(C)A2B1C1D2解析y(x1)(xa)x2(1a)xa，且函数是偶函数，f(x)f(x)，1a0，a1.
6、2如果奇函数f(x)在区间7，3上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间3,7上(C)A单调递增且最小值为5B单调递增且最大值为5C单调递减且最小值为5D单调递减且最大值为5解析f(x)为奇函数，所以f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致，且f(7)为最小值又已知f(7)5，所以f(7)f(7)5.3(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x2)f(x)，若f(x)在1,0上单调递减，则f(x)在(AC)A0,1上单调递增B0,1上先增后减C2,3上单调递增D2,3上先减后增解析因为f(x)在1,0上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在0,1上单调递增由f(x2)
7、f(x)，得f(x2)f(x)，设x2,3，则x20,1，又f(x2)f(x)，从而f(x)在2,3上单调递增故选AC4(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(BD)A|f(x)g(x)|是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数D |f(x)|g(x)是偶函数解析A中，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，
8、B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是偶函数可得g(x)g(x)，由f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|知C错误；D中，由|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，知D正确，故选BD二、填空题5偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_3_.解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.6已知f(x)(k2)x2(k3)x3是偶函数，则f(x)的递减区间为_(，0_.解析由偶函数的定义知k3，所以f(x)x23，其图象开口向上，所以f(x)的递减区
9、间是(，07已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a1)f(1)0，则实数a的取值范围是_(，0)_.解析f(a1)f(1)0，f(a1)f(1)f(x)是奇函数，f(1)f(1)f(a1)f(1)又f(x)在R上是减函数，a11，即a0时，x0)；当x0，f(x)x(1x)f(x)(x1时，f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)解不等式f(2x1)x10，则f(x2)f(x1)ff(x1)f(x1)ff(x1)f.x2x10，1.f0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(2)f(2)1，f(4)f(2)f(2)2.f(x)是偶函数，不等式f(2x1)2可化为f(|2x1|)f(4)又函数在(0，)上是增函数，|2x1|4，且2x10，解得x，且x，不等式解集为.
