1、20192020学年度第二学期高二期中考试数学试卷考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本卷命题范围：人教版选修22第一章、第三章，选修45，框图，三视图一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数
2、，则复数共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数模的求法以及复数的除法运算、共轭复数的概念即可求解.【详解】，则故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2.若函数满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义计算可得；【详解】解：故选：D【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.3.若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由所给条件推出，即可由根据不等式的性质推出.【详解】，又，有可能相等故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4.如图，网格纸上小正方
3、形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 18B. 20C. 16D. 12【答案】D【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体为12个相同的正方体组合而成的，然后根据体积公式，可得结果.【详解】该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，即体积为12故选：D【点睛】本题考查三视图的还原该几何体的直观图，对三视图的还原，一般以俯视图为主，主视图与左视图为辅，同时对常见的几何体的三视图要清楚，属基础题.5.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据循环结构程序框图,依次算出输出值为26
4、时满足的条件,即可得解.【详解】根据程序框图可得所以 所以当输出结果为26时,为是条件.且当时都为否故M处可填入的条件为故选:A【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用,根据输出值分析判断框,属于基础题.6.函数在上的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数判断出函数的单调性即可求出最值.【详解】，当时，；当时，又，所以故选：B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，求出导函数是解题的关键，属于基础题.7.若函数在上有2个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，再求
5、函数的单调性判断即可得解.【详解】解：由得，设，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，又，当时，；当时，.则函数在为增函数，在为减函数，又，又函数在上有2个零点，则的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。8.若a，b，c均为正数，且，则的最小值为（ ）A. 12B. 6C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】不妨设，可得，利用排序不等式即可得解.【详解】不妨设，则，由排序不等式得故选：B【点睛】本题考查不等式的性质、排序不等式，属于基础题.二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出
6、的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：，A错误，故B正确；，故C正确；，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用，属于基础题.10.下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. （且）C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据作差比较法，可判定A错误，B正确，D正确，结合不等式的性质，可判定C正确.【详解】由，当，时，即，所以A错误，B正确；因为，所以，故C错误；因为，
7、所以，故D正确故选：BD.【点睛】本题主要考查了不等关系及不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力。11.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数，否存在点，使得成立.【详解】由题意具有T性质，则存在，使得.对于选项A，因为，存在，使得；对于选项B，因为，不存在，使得；对于选项C，因为，不存在，使得；对于选项D，因为，存在，使得.故选AD.【点睛】本题考查新定义函数、导数的计算及导数的几何意
8、义，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12.已知，存在实数满足，则（ ）A. B. 可能大于0C. D. 【答案】AD【解析】【分析】若，不满足题意；若，故只需解不等式即可.【详解】由，可得若，则，方程无解；若，故只需解即可，当时，由，解得；当时，由，解得综上所述，当时，满足故选：AD.【点睛】本题考查函数与方程的综合，涉及到分类讨论思想在分段函数中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.设曲线在点处的切线的斜率为_【答案】2【解析】因为，所以，故切线的斜率为2，故填2. 14.设a，b为正数，且，则的最小值是_，此时a，b的值分别
9、为_【答案】 (1). 4 (2). ，【解析】【分析】由题设条件，结合基本不等式，即可求得的最小值，以及相应的的值，得到答案.【详解】由，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值是4故答案为：； ，.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正，二定、三相等”的条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】当且仅当，即时等号成立，函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题16.若函数在上单
10、调递增，则的取值范围是_【答案】.【解析】【详解】分析：先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+20恒成立，下面只要二次函数的根的判别式0即可求得a的取值范围；详解：f（x）=exx2+（-a+2）x-a+2，考虑到ex0恒成立且x2系数为正，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+20恒成立（-a+2）2-4（-a+2）0，-2a2，即a的取值范围是-2，2 .点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力属于基础题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数的虚部大于0，且（1）求；（2）求复数
11、的实部【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题，得，解方程即可得到本题答案；（2）按照复数的除法运算，逐步化简，即可得到本题答案.【详解】（1）设，则，所以，整理得，解得，又，所以因为复数的虚部大于0，所以，；（2）因为所以复数的实部为【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的模的运算.18.已知函数，（1）求；（2）若，求在上的单调区间与极值【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减在上的极小值为无极大值【解析】【分析】（1）直接求导，即可得到本题答案；（2）由题，得，所以，当时，；当时，即可得到本题答案.【详解】（1）；（2）因为，所以，当时，；当时，于是在上单调递增，在上
12、单调递减，所以在上的极小值为无极大值【点睛】本题主要考查函数的求导以及利用导数求函数的单调区间和极值.19.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，分别解不等式及，求交集可得不等式的解集；（2），可对 分三种情况进行讨论，求解的取值范围.【详解】（1）当时，因为所以的解集为，由，得，则，即，解得，故不等式的解集为；（2）当时，则，又，所以当时，故不合题意，当时，当且仅当时等号成立，则，又，所以综上：的取值范围为【点睛】不等式证明选讲近年来多以考查绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者
13、运用绝对值不等式的几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.20.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.【答案】（1） （2）当年产量
14、约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元【解析】【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.【详解】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.依题意得，当时，当时，；（2）当时，当时，的最大值为（万元），当时，当时，单调递增，当单调递减，当时，取最大值（万元），当时，取得最大值万元，即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.21.已知，证明：（1）；（2
15、）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先由基本不等式可得，而，即得证；（2）首先推导出，再利用，展开即可得证.【详解】证明：（1），（当且仅当时取等号）.（2），.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题22.已知函数（1）讨论函数单调性；（2）当时，正数满足，证明：.【答案】(1) 当时，在区间上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析.【解析】分析：（1）分析单调性首先确定定义域，然后求导得，再确定分子符号即可得出单调性，此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论；（2）因为当时，由
16、（1）可知在区间上单调递增.又易知，且，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，即证.构造函数，.分析函数单调性求出最值即可.详解：（1）解：的定义域为，令，.当时，所以对恒成立，则在区间上单调递增.当或时，令，得，.（i）当时，所以对恒成立，则在区间上单调递增.（ii）当时，.若，函数单调递增；若，函数单调递减；若，函数单调递增.综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和上单调递增；在上单调递减.（2）证明：当时，由（1）可知在区间上单调递增.又易知，且，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，即证.构造函数，.所以 ， .当时，所以函数在区间上单调递增，则.所以得证，从而.点睛：考查函数的单调性求法通常先求导，当碰到有参数时要特别注意参数对导函数的符号的确定的影响，此时通常结合图像分析会比较容易分类讨论，同时对于第二问则构造函数构造函数，.是解题关键.属于难题.
