1、第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第369页A组基础保分练1过抛物线y28x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A8B10C12 D14解析：由题设知线段AB的中点到准线的距离为5，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|AF|BF|d1d22510答案：B2（2021广州调研）在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1（ab0）相切，且椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为（）A BC1 D2解析：联立方程可得消去x，化简得（a22b2）y28b
2、2yb2（8a2）0，由0得2b2a280设F为椭圆C的左焦点，连接FE（图略），易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1答案：C3椭圆ax2by21（a0，b0）与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A BC D解析：把y1x代入椭圆ax2by21得ax2b（1x）21，整理得（ab）x22bxb10设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，y1y22，所以线
3、段AB的中点坐标为，所以过原点与线段AB中点的直线的斜率k，所以答案：B4已知椭圆C：1（a0，b0）的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（2，1），则直线l的斜率为（）A BC D1解析：由e，得，所以a24b2，则椭圆方程为x24y24b2设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x24，y1y22，把A，B的坐标代入椭圆方程得得（x1x2）（x1x2）4（y1y2）（y1y2），所以所以直线l的斜率为答案：C5在直角坐标系xOy中，抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若N
4、FR60，则|NR|（）A2 BC2 D3解析：如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于点Hy24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，|FH|2，|PF|PQ|M，N分别为PQ，PF的中点，MNQFPQ垂直l于点Q，PQOR，|PQ|PF|，NFR60，PQF为等边三角形，MFPQ，F为HR的中点，|FR|FH|2，|NR|2答案：A6已知抛物线y22px（p0）的准线方程为x1，焦点为F，A，B，C为抛物线上不同的三点，|，|，|成等差数列，且点B在x轴下方，若0，则直线AC的方程为（）A2xy10 Bx2y10C2xy10 Dx2y10解析：抛物线y22px的准线方程为x1，p2，抛物线
5、方程为y24x，F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线的定义得，|x11，|x21，|x31，|，|，|成等差数列，2|，即2（x21）x11x31，整理得x1x32x2又0，x11x21x310，y1y2y30，x21又y20，y22，x1x32，y1y32，AC的中点坐标为（1，1），kAC2，直线AC的方程为y12（x1），即2xy10答案：A7（2021广州模拟）已知F为抛物线C：x22py（p0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x6y3p0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则_解析：可得直线2x6y3p0与y轴交点
6、是抛物线C：x22py（p0）的焦点F，由得x2pxp20xPp，xSpyPp，ySp|RS|SF|ySp，|PQ|PF|yPp则答案：8已知点A（0，1），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|MN|12，则实数a的值为_解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K（图略），由抛物线的定义知|MF|MK|因为|FM|MN|12，所以|KN|KM|1，又kFN，kFN，所以，解得a答案：9（2021北京海淀区模拟）已知椭圆C：1，直线l：xy20与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，
7、点P，Q与点B不重合（1）求椭圆C的离心率；（2）当SOPQ2时，求椭圆C的方程；（3）过原点O作直线l的垂线，垂足为N若|PN|BQ|，求实数的值解析：（1）a23m，b2m，c22m，e2，故e（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1y20，将xy20代入椭圆C的方程并整理得4x212x123m0，依题意，由（12）244（123m）0得m1且有|PQ|x1x2|，原点到直线l的距离d，所以SOPQ|PQ|d2解得m1，故椭圆方程为1（3）直线l的垂线为ON：yx，由解得交点N（1，1）因为|PN|BQ|，又x1x23，所以1，故的值为110（2020高考全国卷）已知椭圆C：1（0
8、m5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积解析：（1）由题设可得，得m2，所以C的方程为1（2）设P（xP，yP），Q（6，yQ），根据对称性可设yQ0，由题意知yP0由已知可得B（5，0），直线BP的方程为y（x5），所以|BP|yP，|BQ|因为|BP|BQ|，所以yP1将yP1代入C的方程，解得xP3或3由直线BP的方程得yQ2或8所以点P，Q的坐标分别为P1（3，1），Q1（6，2）；P2（3，1），Q2（6，8）|P1Q1|，直线P1Q1的方程为yx，点A（5，0）到直线P1Q1的距离
9、为，故AP1Q1的面积为|P2Q2|，直线P2Q2的方程为yx，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的面积为综上，APQ的面积为B组能力提升练1（2021郑州调研）已知椭圆C：1（ab0）与圆D：x2y22axa20交于A，B两点，连接OA，AD，DB，OB，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（）A BC D解析：由已知得圆D：（xa）2y2a2，圆心D（a，0），则菱形OADB对角线的交点的坐标为将x代入圆D的方程，得ya，不妨设点A在x轴上方，即A将点A的坐标代入椭圆C的方程可得1，所以a2b2a2c2，得a2c，所以椭圆C的离心率e答案：B2（2021长沙模拟）已
10、知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则PF1F2的面积为（）A B1C D2解析：设P（x0，y0），不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线xy0上，因此可得x0y00易知F1（0，），F2（0，），所以|F1F2|2，以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xy2由得|x0|1，于是SPF1F2|F1F2|x0|21答案：C3如图，点A为双曲线C：1（a0，b0）的右顶点，点P为双曲线上一点，作PBx轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三
11、个公共点，则双曲线C的离心率为（）A BC2 D解析：法一：由题意可得A（a，0），又A为线段OB的中点，所以可得B（2a，0），令x2a，则yb，可取P（2a，b）由题意可得圆A经过双曲线的左顶点（a，0），即|AP|2a，即2a，可得ab，e法二：设双曲线C的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N由已知易得|PB|b，|BM|3a，|BN|a，连接PM，PN（图略），则PMPN，在RtPMN中，PBMN，所以|PB|2|BM|BN|，所以3b23a2，因为c2b2a2，所以e答案：A4（2021济南模拟）已知抛物线E：y22px（p0）上一点M（4，y0）到焦点F的距离为5（1）求抛物线E
12、的方程；（2）直线l与圆C：x2y24x0相切且与抛物线E相交于A，B两点，若AOB的面积为4（O为坐标原点），求直线l的方程解析：（1）由抛物线的定义知45，所以p2，因此，抛物线E的方程为y24x（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为xmyn因为直线l与圆C相切，又圆C的圆心为（2，0），所以2，所以4m2n24n设点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得y24my4n0，由根与系数的关系得y1y24m，y1y24n则|AB|y1y2|4，又原点O到直线l的距离为d，所以SAOB|AB|d42，所以24，所以（m2n）n24，又4m2n24n，解得n2当n2时，m21
13、不成立；当n2时，m23，所以m经检验，所求直线方程为xy2，即xy205已知椭圆1（ab0）的一个顶点是B（0，2），离心率e，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l与椭圆交于M，N两点，且BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F，求直线l的方程解析：（1）由b2，e，得c21，a25，所以椭圆的标准方程为1（2）设P为MN的中点，由题意得2，B（0，2），F（1，0），设P（x，y），则（1，2），（x1，y），得所以所以P设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，1，代入椭圆方程得得kMN，所以直线MN的方程为y1，即直线l的方程为6x5y140C组创新应用练1设双曲线1的左、右焦点分别为F
14、1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|BF2|的最小值为（）A13 B12C11 D10解析：由题意得双曲线的实半轴长a2，虚半轴长b根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|AB|8又|AB|min3，所以|AF2|BF2|的最小值为11答案：C2如图，过抛物线y24x的焦点F作直线l，交抛物线于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，则的最小值为（）A BC D解析：由题意知F（1，0），设直线l的方程为xmy1，代入y24x，并消去x，得y24my40，设P（x1
15、，y1），Q（x2，y2），则y1y24m，y1y24，M（2m21，2m），圆M的半径r|PQ|y1y2|2m22过M作MGAB于点G，MHCD于点H（图略），则|AB|2（2|AG|）24（r2|MG|2）4（2m22）2（2m）216（m4m21），|CD|2（2|DH|）24（r2|MH|2）4（2m22）2（2m21）24（4m23）令4m23t，则t3，m2，44（1），故当t，即t，m2时，取得最小值答案：D3（2021嘉兴教学测试）如图，已知抛物线C1：y24x和圆C2：（x1）2y21，直线l经过C1的焦点F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则的值为（）A BC1 D2解析：法一：因为直线l经过抛物线C1的焦点F（1，0），所以可设l：xmy1将直线方程与抛物线方程联立，消元化简可得y24my40，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1y24|（x111）（x211）x1x21法二：不妨考虑特殊情况，即lx轴，则A（1，2），B（1，1），C（1，1），D（1，2），所以（0，1），（0，1），所以1答案：C
