1、函数与导数(12)12019辽宁沈阳教学质量检测已知函数f(x)(x1)2mln x，mR.(1)当m2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求的取值范围解析：(1)当m2时，f(x)(x1)22ln x，f(x)2(x1)，所以f(1)2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)，所以切线方程为2xy20.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(x1).因为x1，x2为函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程2x22xm0的两个不等实根，由根与系数的关系知x1x21，x1x2，(*)又x1x2，所以易知0x1x2
2、1，将(*)式代入得1x22x2ln x2.令g(t)1t2tln t，t，则g(t)2ln t1，令g(t)0，解得t.当t时，g(t)0，g(t)在上单调递增所以g(t)ming11，g(t)max，gln 20时，方程f(x)ax存在唯一的实根，求实数a的值解析：(1)函数f(x)x2aln x的定义域为(0，)，且f(x)2x.当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值；当a0时，若x，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)有极小值fln，无极大值综上，当a0时，f(x)无极值；当a0时，f(x)有极小值ln，无极大值(2)令h(x)f(x)axx2aln
3、xax，则h(x)2xa.因为a0，x0，令h(x)0，得x0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以h(x)的极小值h(x0)0，即xaln x0ax00，且2xax0a0，联立可得2ln x0x010.令m(x)2ln xx1，得m(x)10，故m(x)在(0，)上单调递增又m(1)0，所以x01，即1，解得a1.32019东北三省四市一模已知aR，函数f(x)aln x，x(0,6)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x2是f(x)的极值点，且曲线yf(x)在两点P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)(x1x2)处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分
4、别为b1，b2，求b1b2的取值范围解析：(1)f(x)，x(0,6)，当a0时，f(x)0，且6，即0a时，f(x)0，且时，在x上，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增综上，当a时，f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；当a时，f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)x2是f(x)的极值点，由(1)可知2，a1.则曲线yf(x)在P(x1，f(x1)处的切线方程为y(xx1)，在Q(x2，f(x2)处的切线方程为y(xx2)，这两条切线互相平行，.，又0x1x26，x1(3,4)令x0，则b1ln x11，同理，b2ln x21.b1b24ln x1ln x24lnln
5、令t，则g(t)4ln tln g(t)80，g(t)在区间t上递减，得gg(t)g，即ln 2g(t)0)，令F(x)g(x)，则F(x)(x0)当a0时，F(x)0，所以g(x)单调递增当a0时，g(x)在区间(0，)上单调递减；在区间(，)上单调递增(2)由题意得x时，g(x)minf(x)2max恒成立因为f(x)23x22xx(3x2)，所以当x时，函数yf(x)2单调递减；当x时，函数yf(x)2单调递增又f20，可知h(x)在上单调递增，又h(1)0.所以当x时，h(x)0，h(x)单调递增所以h(x)minh(1)1.所以实数a的取值范围为(，152019河南洛阳市高三统一考试
6、已知函数f(x)ln xx22kx(kR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，证明：f(x2)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当k0时，令t(x)x22kx1，当4k240，即00，即k1时，x22kx10，则t(x)的两根为k，所以当x(0，k)时，f(x)0，当x(k，k)时，f(x)0，故当k(，1时，f(x)在(0，)上单调递增；当k(1，)时，f(x)在(0，k)和(k，)上单调递增，在(k，k)上单调递减(2)证明：f(x)ln xx22kx(x0)，f(x)x2k，由(1)知当k1时，f(x)在(0，)上单调递增，此时f(x)无极
7、值，当k1时，f(x)x2k，由f(x)0，得x22kx10，4(k21)0，设x22kx10的两根为x1，x2，则x1x22k，x1x21，其中0x1k1x2k，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增从而f(x)有两个极值点x1，x2，且x11)，则g(x)x0，所以g(x)在(1，)上单调递减，且g(1)，且f(x2).62019重庆铜梁一中月考已知aR，函数f(x)ln(x1)x2ax2.(1)若函数f(x)在1，)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)令a1，bR，已知函数g(x)b2bxx2，若对任意x1(1，)，总存在x21，)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数b的取值范围解析：(1)因为f(x)ln(x1)x2ax2，x(1，)，所以f(x)2xa.要使f(x)在1，)上为减函数，则需f(x)0在1，)上恒成立，即a2x在1，)上恒成立易知2x在1，)上为增函数，所以2x在1，)上的最小值为，所以a.即a的取值范围为.(2)因为a1，所以f(x)ln(x1)x2x2，x(1，)f(x)2x1，当1x0，f(x)在(1,0)上单调递增，当x0时，f(x)1时，g(x)的最大值为g(b)bb2，所以g(x)在1，)上的值域为(，bb2由bb22得b1或b2(舍去)综上所述，b的取值范围是(，31，)
