1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线(限时45分钟,满分96分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2019长春质监)下列椭圆中最扁的一个是A.1B.y21C.1 D.1解析由1得;由y21得;由1得;由1得;因为0,b0)的离心率为2,则其渐近线方程为Ayx ByxCyx Dyx解析由0得yx,即为双曲线的渐近线方程双曲线的离心率为2, 2,解得,双曲线的渐近线方程为yx.故选D.答案D4(2019兰州二诊)经过点M(2,2)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是A.1 B.1C.1 D.1解析设所求双曲线的方程为,将点M(2,2)代
2、入得,解得6,所以双曲线方程为1.故选D.答案D5(2019大连二模)过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PFQ的周长的最小值为A12B14C16D18解析由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称,设F为椭圆另一焦点,则四边形PFQF为平行四边形,由椭圆定义可知:|PF|PF|QF|QF|4a20,又|PF|QF|,|QF|PF|,|PF|QF|10,又PQ为椭圆内的弦,|PQ|min2b8,PFQ周长的最小值为:10818.故选D.答案D6(2019兰州二诊)若双曲线C:1 (a0,b0)的渐近线与圆(x3)2y21无交点,则C的离心率的取值范围为A. B.C
3、. D.解析双曲线渐近线为bxay0与圆(x3)2y21无交点,圆心到渐近线的距离大于半径,即 1,8b2a2,8(c2a2)a2,即8c29a2,e.故选C.答案C7(2019全国卷)已知F是双曲线C:1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点,若|OP|OF|,则OPF的面积为A. B. C. D.解析设点P(x0,y0),则1又|OP|OF|3,xy9由得y,即|y0|,SOPF|OF|y0|3.故选B.答案B8(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过点F2的直线与C交于A,B两点,若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则C的方程为A.y21 B.1C.1
4、 D.1解析不妨设|F2B|m,故|F1B|AB|AF2|F2B|3|F2B|3m,由椭圆定义可得|F1B|F2B|2a4m,故|F2B|a,|BF1|a,|AF2|a,|AF1|2a|AF2|a,在AF1F2和BF1F2中,分别可得cosAF2F1cosBF2F1,由二角互补可得,解得a23,故b22.故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9(2019合肥质检)抛物线x28y的焦点坐标为_解析由抛物线方程x28y知,抛物线焦点在y轴上,由2p8,得2,所以焦点坐标为(0,2)答案(0,2)10(2019蚌埠三模)若双曲线C:1(a0,b0)的渐近线过点(2,1),则
5、双曲线C的离心率为_解析双曲线1(a0,b0)的渐近线过点P(2,1),双曲线的渐近线方程为yx,e.答案11(2019株洲二模)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左,右焦点,B是短轴的一个端点,线段BF2的延长线交椭圆C于点D,若F1BD为等腰三角形,则椭圆C的离心率为_解析如图,不妨设点B是椭圆短轴的上端点,则点D在第四象限内,设点D(x,y)由题意得F1BD为等腰三角形,且|DF1|DB|.由椭圆的定义得|DF1|DF2|2a,|BF1|BF2|a,又|DF1|DB|DF2|BF2|DF2|a,(|DF2|a)|DF2|2a,解得|DF2|.作DEx轴于E,则有|DE|DF2|sin
6、DF2E,|F2E|DF2|cosDF2E,|OE|OF2|F2E|c,点D的坐标为.又点D在椭圆上,1,整理得3c2a2,所以e.答案12(2019江西新八校联考二)设F1,F2为椭圆C1:1(a1b10)与双曲线C2的公共左、右焦点,椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M,MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,且|MF1|2.若椭圆C1的离心率e1,则双曲线C2的离心率e2的取值范围是_解析设双曲线C2的方程为1(a20,b20),由题意知|MF1|2,|F1F2|MF2|2c,其中c2abab,又根据椭圆与双曲线的定义得,则,即a1a22c,其中2a1,2a2分别为椭圆的长轴长和
7、双曲线的实轴长所以2.因为椭圆的离心率e1,所以2,所以e2,即双曲线C2的离心率的取值范围是.答案三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)13(2019昆明统测)设抛物线C:x22py (p0)的焦点为F,M(p,p1)是C上的点(1)求C的方程; (2)若直线l:ykx2与C交于A,B两点,且|AF|BF|13,求k的值解析(1)因为M(p,p1)是C上的点,所以p22p(p1), 因为p0,解得p2,抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x24kx80,16k2320,则x1x24k,x1x28,由抛物线的定义知|AF|y11,|BF|y2
8、1,则|AF|BF|(y11)(y21)(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)94k2913,解得k1.14已知椭圆E:1(ab0)的离心率为,右焦点为F(1,0)(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程解析(1)依题意可得解得椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x1,不符合题意;当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为yk(x1)联立消去y得(12k2)x24k2x2(k21)0,x1x2,x1x2.y1y2k2x1x2(x1x2)1.OM
9、ON,0.x1x2y1y20,k.故直线l的方程为y(x1)15(2019安徽A10联盟最后一卷)已知椭圆E:1(ab0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍,且点P在椭圆上(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点G(0,1)作直线l与曲线交于A,B两点,求ABO面积的最大值解析(1)由题意得,解得a2,b,椭圆的标准方程为1.(2)易知直线l的斜率存在设直线l的方程为ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y得(34k2)x28kx80,则x1x2,x1x2,|x1x2| ,d,SABOd|x1x2|,令t,k20,t1,SABO,易证y2t在1,)上单调递增,2t3,SABO,ABO面积的最大值为.