1、山西大学附中20212022学年高三第二学期5月诊断考试数 学 试 题（理） 考试时间：120分钟一、 选择题：（本题共12 小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确）1设，则（）ABCD2已知集合，则（）ABCD3非零向量，满足，与的夹角为，则在上的投影为（）A1BC1D4已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则（）A28B30C32D355若点在角的终边上，则（）A2BCD62022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉
2、祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A8B10C12D147点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则PAF的周长的最小值是（）A4B6CD82008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（）ABCD9已知在ABC中，角A，B，C的对边分别
3、为a，b，c，A为锐角，若，则ABC的面积为（）A B C D10已知双曲线C：的左、右焦点为，渐近线上一点P满足（O坐标原点），则双曲线C的离心率为（）ABCD11已知实数满足，则（）ABCD12已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（）A B C D二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则_.14已知的展开式中各项系数和为，则该展开式中的系数是_15如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，则数列的通项公式为 . 16如图，多
4、面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE平面ABCD，CFDE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：当H为DE的中点时，GH平面ABE；存在点H，使得GHAE；三棱锥BGHF的体积为定值；三棱锥EBCF的外接球的表面积为其中正确的结论序号为_（填写所有正确结论的序号）三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17已知数列的前项和为， 从条件、条件和条件中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答（条件：；条件：；条件
5、：.）选择条件和(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和18某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在的人群，通过调查数据表明，新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的约占.现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到了如图所示的频率分布直方图.(1)求这人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(2)现在要从年龄较大的第、组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，
6、求第组恰好抽到人的概率；(3)若从众多参与调查的人中任意选出人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量，求的期望与方差.19已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且(1)求C的方程；(2)过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线20如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围21已知函数(1)求的极值；(2)若不等式恒成立，求实数m的最小值（二）选考题，共10分.请考生在第22、
7、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C与坐标轴所围成图形的面积；(2)已知点，在曲线C上，求OAB面积的最大值23已知函数(1)若 ，解不等式；(2)求证：5月数学理科答案1【详解】因，则故选：A2【详解】由，即，解得，所以，又，所以；故选：A3【详解】由于，所以，由于与的夹角为，所以，在上的投影为.故选：C4【详解】因为，所以，又因为，所以公差，所以，故选：.5【详解】因为，即，所以，则.故选：C.6【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1
8、人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：7【详解】抛物线的焦点，准线为过点作准线于点，故PAF的周长为，可知当三点共线时周长最小，为故选：C8【详解】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，所以该多面体的表面积为，故选：C.9【详解】因为，所以，所以，所以或又A为锐角，所以因为，所以，所以，又，所以，所以为锐角，所以，又，所以，所以ABC的面积，故选：D10【详解】由双曲线的性质可得，由
9、双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，因为，所以，即，设，因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，因为，所以，所以的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，所以，设，则，在中，由余弦定理可得，所以，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以离心率为，故选：B11【详解】由题意得：；令，则，当时，；当时，；在上的单调递减，在上单调递增；又，当时，；方程有两个不等解，；，又，；又，；综上所述：.故选：D.12【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，因为，所以令，则在R上单调递增又，所以，因为，所以，即，所以，所以故选：C13【详解】双曲线的焦点在x轴上，即.双曲线的两条渐近线互相垂直，即，解
10、得（负值舍去）.故答案为：1.14【详解】由题意令，得，即，解得，则中含的项为，故展开式中的系数是，故答案为：-6315【详解】为中点，又、三点共线，又，化简可得，又数列是首项为4、公比为2的等比数列.，.16【详解】对：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：因为分别为的中点，故可得/，根据已知条件可知：/，故/，故四边形为平行四边形，则/，又面面，故/面，故正确；对：因为面面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则，设，若GHAE，则，即，解得，不满足题意，故错误；对：，因为均为定点，故为定值，又/面面，故/面，又点在上运动，故点到面的距离是
11、定值，故三棱锥的体积为定值，则正确；对：取的外心为，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在上因为面，面面，则，又，面，故面,又面，则/，故在同一个平面，则过作，连接如图所示.在中，容易知，则由余弦定理可得，故，则由正弦定理可得；设三棱锥的外接球半径为，则，在中，又，故由勾股定理可知：，即，解得：，则该棱锥外接球的表面积，故正确.故答案为：.17【详解】(1)选，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选，无法确定数列.(2)，其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.18【详解】(1)由，得， 平均数为（岁），设中位数为岁，则，解
12、得(岁)，即中位数约为岁；(2)由频率分布直方图可得第、组的频率比为3:1；所以从第、组中抽取的人数比为3:1，又两组共抽取8人，所以第、组抽取的人数分别为人、人，设从人中随机抽取人进行访谈且第组恰好抽到人为事件，则；(3)从众多参与调查的人中任意选出人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为，可取、，服从， 则， ，则的分布列为：.19【详解】(1)设()，由题意知，点，且，解得，因此C的方程为(2)由题意可知，直线l的方程为由得，设，则，轴，直线，令，得轴，B，M，E三点共线20【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，在等腰梯形中，为，的中点，在正中，为的中点，平面，平面，又平面，（2）
13、解：平面，在平面内作，以为坐标原点，以，分别为，轴正向，如图建立空间直角坐标系，为二面角的平面角，即，设平面的法向量为，则有，即，则可取，又，设直线与平面所成角为，21【详解】(1)由题意知，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值(2)由题意知恒成立，设，则当时，与恒成立矛盾，不合题意当时，在上单调递减，又因为，且时，所以，使得，即，且当时，单调递增，当时，单调递减，所以，由恒成立知，又因为，所以所以，即，解得设，则，所以在上单词递增，所以，即m的最小值是22【详解】(1)当时，所以，则，即，因为，所以，又，所以；当时，所以，则，即，因为，所以 ，所以，所以；所以曲线的图形如下所示：所以曲线与坐标轴所围成图形的面积为；(2)因为点，在曲线C上，所以，所以的面积所以当，即时；23【详解】(1)由题意，时，即，则，即 ，解得 或 ，故不等式解集为 或 ；(2)证明：，当 时，当时，由于 ，故，当 时，综合以上，.
