1、专题08 递推函数【方法点拨】类比于数列的递推关系,我们把具有f(x1)2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x1)2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可f(x)f(x1)+1等以此类推.【典型题示例】例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x(x1).若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【分析】【解析一】时， 当时，故，同理，当时，当时
2、，所以，当，当时，令，解之得：为使对任意，都有，则m的取值范围是.故选B.【解析二】当1x0时，0x11，则f(x)f(x1)(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2x3时，令22(x2)(x3)，整理，得(3x7)(3x8)0，解得x或x，将这两个值标注在图中.要使对任意x(，m都有f(x)，必有m，即实数m的取值范围是，故选B.例2 已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)则函数y2xf(x)3在区间
3、(1,2 015)上的零点个数为_【答案】11【解析一】由题意得当1x2时，f(x)设x2n1,2n)(nN*)，则1,2)，又f(x)f， 当时，则x2n1,32n2，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2，所以x32n2； 当时，则x(32n2,2n)，所以f(x)f，所以 2xf(x)32x30，整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n)，所以无解综上所述，x32n2.由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上
4、零点的个数是11.【解法二】由题意得当x2n1,2n)时，因为f(x)f，所以f(x)maxf.令g(x).当x2n1时，g(x)g，所以当x2n1,2n)时，x2n1为y2xf(x)3的一个零点下面证明：当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点当x2n1,32n2时，yf(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g(32n2)，所以x2n1,32n2时，有一零点x32n2；当x(32n2,2n)时，yf(x)，k1f(x)，g(x)，k2g(x)，所以k10时，f(x)那么函数g(x)xf(x)1在7，)上的所有零点之和为_.7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零
5、点个数为（ ）A 4 B6 C8 D10【答案与提示】1.【答案】(，1)【解析】x0时，f(x)2x1，0x1时，1x10，f(x)f(x1)2(x1)1.故x0时，f(x)是周期函数，如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点，故a1，即a的取值范围是(，1)2.【答案】【解析】根据x表示的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，
6、当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.3.【答案】10000【提示】当时，此时的两根之和是1当时，此时的两根之和是3当时，此时的两根之和是5以此类推，当时， 的两根之和是199所以方程的所有解的和为1+3+5+199=10000.4.【答案】6【提示】转化为两函数、交点个数.5.【答案】，)【解析】根据题意作出函数图像，如下： 故m6.【答案】8【提示】转化为两函数、在7，)上的所有交点横坐标和的问题，两函数均为奇函数，故在7，7上横坐标和为0，只需考虑x(7，)即可，利用递推关系作出图象.7.【答案】D【分析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点.共计10个交点
