1、(2015 北京，10，易)23，log25三个数中的最大数是_【解析】231，130log242，23log25，最大的数是log25.【答案】log251(2011浙江，6，易)若a，b为实数，则“0ab1”是“b”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D0ab1，a，b同号当a，b同正时，由0ab1易得b；当a，b同负时，由0ab.因此0ab1b.反过来，由b得，b0，即0，即或因此b0ab1.综上可知，“0ab1”是“b”的既不充分也不必要条件故选D.易错点拨：解答本题时易忽视对实数a，b符号的讨论而误选A.2(2013天津，4，易)
2、设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A若(ab)a20，则必有ab0，即ab；而ab时，不能推出(ab)a20，如a0，b1，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要条件故选A.3(2014湖南，9，中)若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2【答案】C对于A，B两选项，构造函数f(x)exln x，f(x)ex.令f(x)ex0，解得0x1.f(x)在(0，1)上先减后增，不具有单调性，A，B不正确对于
3、选项C，D，构造函数f(x)，f(x)，0x1，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递减又0x1x2f(x2)，即x2ex1x1ex2，故选C.4(2010辽宁，15，中)已知1xy4且2xy0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1； ；a2b22；a3b33；2.【解析】a0，b0，ab2，即22，ab1.故恒成立；对于，()2ab2222，.故不成立；对于，a2b2(ab)22ab42ab2，恒成立；对于，可采用特殊值代入法，a1，b1满足题意，a3b323，故不成立；对于，2，故恒成立【答案】考向1不等关系与比较大小两个实数比较大
4、小的法则关系法则作差法则作商法则abab01(a，b0)或1(a，b0)abab01(b0)abab01(a，b0)或1(a，b0)(1)(2014山东，5)已知实数x，y满足axay(0ay3 Bsin xsin yCln(x21)ln(y21) D.(2)(2015湖南邵阳一模，9)若0x0且a1，则|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系是()A|loga(1x)|loga(1x)|B|loga(1x)|loga(1x)|C不确定，由a的值决定D不确定，由x的值决定【解析】(1)因为0a1，axy.对于选项B，取x，y，则sin xsin y，显然B错误对于选项C，取x1，y
5、2，则ln(x21)ln(y21)，显然C错误对于选项D，取x2，y1，则y时，一定有x3y3成立，所以选A.(2)方法一(作差法)：0x1，01x1，01x21，11x2.lg(1x)0，lg(1x2)0，|loga(1x)|loga(1x)|lg(1x)lg(1x)lg(1x2)0，|loga(1x)|loga(1x)|.方法二(作商法)：0x1，11x2，01x1x1，log(1x)(1x)log(1x)(1x)1，|loga(1x)|loga(1x)|.【答案】(1)A(2)A【点拨】解题(1)要注意当xy时，x2y2不一定成立，x2y2也不一定成立题(2)方法一利用作差法，作差，变形
6、与0比较大小；方法二利用作商法，作商，变形，与1比较大小 比较大小的方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数法构造函数，根据函数的单调性作出判断(4)特殊值法若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路(1)(2015安徽淮北一模，3)设a30.5，blog32，ccos 2，则()Acba BcabCabc Dbc0.sin cos sin，又，sinsin1，1，从
7、而ab.【答案】考向2不等式的性质及应用1不等式的基本性质(1)对称性：abbb，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0(nN，n2)2不等式的倒数性质(1)ab，ab0.(2)a0b.(3)ab0，0cd.(1)(2014四川，5)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.(2)(2013北京，2)设a，b，cR，且ab，则()Aacbc B.Ca2b2 Da3b3【解析】(1)方法一：令a3，b2，c3，d2，则
8、1，1，排除选项C，D；又，所以b成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3【答案】AA项，若ab1，则必有ab，反之，当a2，b1时，满足ab，但不能推出ab1，故ab1是ab成立的充分而不必要条件；B项，当ab1时，满足ab1，但不能推出ab；C项，当a2，b1时，满足a2b2，但ab不成立；D项，ab是a3b3成立的充要条件综上所述，选A.思路点拨：解题的关键是弄清是题干“ab”推出“选项”还是“选项”推出“ab”1(2015安徽屯溪一模，7)设a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c的大小关系是()Aacb BcabCabc Dbac【答案】Da0
9、.50.25，0.250.9，0ab1.又clog50.30，bac.2(2015重庆一中调研，3)设a1b1，则下列不等式中恒成立的是()Aab2 B.C. Da22b【答案】A对于A，1b1，0b21，ab2，故A正确；对于B，若a2，b，此时满足a1b1，但1b1，但，故C错误；对于D，若a，b，此时满足a1b1，但a22b，故D错误，综上可知，选A.思路点拨：由函数的性质，知当b(1，1)时，b20，1)，由此得选项A正确3(2014浙江宁波二模，3)若角，满足，则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B2，.又，0，从而0.故选B.4(2015湖南湘潭一模，4)设a，b是实数，
10、则“ab1”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立，故选A.5(2015河南郑州联考，7)已知a，b，cR，给出下列命题：若ab，则ac2bc2；若ab0，则2；若a|b|，则a2b2.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0【答案】C当c0时，ac2bc20，故为假命题；当a与b异号时，0，0， 2，故为假命题；因为a|b|0，所以a2b2，故为真命题6(2014安徽黄山质检，13)定义a*b已知a30.3，b0.33，clog
11、30.3，则(a*b)*c_(结果用a，b，c表示)【解析】log30.300.33130.3，cb0，解得x1.2(2015 广东，11，易)不等式x23x40的解集为_(用区间表示)【解析】由x23x40可得，x23x40，即(x4)(x1)0，得4x1，所以不等式x23x40的解集为(4，1)【答案】(4，1)1(2014江西，2，易)设全集为R，集合Ax|x290，Bx|1x5，则A()()A(3，0) B(3，1)C(3，1 D(3，3)【答案】C由Ax|x290，可解得Ax|3x3，而x|x1或x5，因此A()x|3x1，选C.易错点拨：解题过程中一定要注意区间的开闭2(2012江
12、西，2，易)若全集UxR|x24，则集合AxR|x1|1的补集UA为()AxR|0x2 BxR|0x2CxR|0x2 DxR|0x2【答案】C全集UxR|2x2，AxR|2x0，UAxR|00的解集是_【解析】原不等式或解集为x|x3或3x0(a0)或ax2bxc0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集2分式不等式的解法解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解即：(1)0(0)f(x)g(x)0(0(或0)对于一切xR恒
13、成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意(1)(2012福建，15)已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_(2)(2012江苏，13)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f (x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【解析】(1)不等式x2ax2a0在R上恒成立，即(a)28a0，0a8，即a的取值范围是(0，8)(2)f(x)x2axb的值域为0，)，0，即a24b0.b0，f(x)x2axa2.又f(x)c的解集为(m，m6)，m，m6是方程x2axc0的两根由一元二次方程
14、根与系数的关系得解得c9.【答案】(1)(0，8)(2)9【点拨】(1)解一元二次不等式，要与相应二次函数的图象结合在一起考虑；(2)由函数f(x)的值域为0，)，可知0，f(x)c的解集为(m，m6)，则m，m6是f(x)c0的两根 一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)对一切xI恒成立f(x)min；f(x)对一切xI恒成立f(x)max.(2)f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)ming(x)max(xI)(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用
15、分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等(2014河南郑州调研，14)若不等式x2ax10对一切x恒成立，则a的最小值是_【解析】方法一：由于x0，则由已知可得ax在x上恒成立，而当x时，a，故a的最小值为.方法二：设f(x)x2ax1，则其对称轴为x.若，即a1时，f(x)在上单调递减，此时应有f 0，从而a1.若0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)10恒成立，故a0.若0，即1a0时，则应有f 110恒成立，故1a0.综上可知a，故a的最小值为.【答案】1(2014江西抚州一模，3)不等式x(x2)0的解集是()A0，2) B0，2C(，02，) D(，0)(2，)【答案】Bx
16、(x2)00x2.2(2014福建泉州二模，4)若不等式f(x)ax2xc0的解集为x|2x1，则函数yf(x)的图象为()【答案】B由题意知aaxa对一切3x4恒成立，实数a的取值范围是_【解析】x23axa对一切3x4恒成立，a在x3，4恒成立，令g(x)，x3，4，即ag(x)min，而g(x)(x1)2在x3，4上单调递增，故g(x)在x3时取得最小值3.【答案】(，3)9(2015河南郑州一模，13)研究问题：“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2bxa0”，有如下解法：由ax2bxc0abc0.令y，则y，所以不等式cx2bxa0的解集为.类比
17、上述解法，已知关于x的不等式0的解集为(2，1)(2，3)，则关于x的不等式0的解集为_【解析】关于x的不等式0的解集为(2，1)(2，3)，用替换x，不等式可以化为0，因为(2，1)(2，3)，所以x1或x ，即不等式0的解集为.【答案】1(2015湖南，4，易)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值为()A1 B0 C1 D2【答案】A画出可行域如图阴影区域目标函数可化为y2xz.作直线y2x并平移，在A点获得最小值由解得所以A(0，1)所以zmin1.2(2015山东，12，中)若x，y满足约束条件则zx3y的最大值为_【解析】画出可行域如图所示，将目标函数化为yxz，可知当目标函数
18、过的交点(1，2)时，z有最大值7.【答案】73(2015课标，14，中)若x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_【解析】画出可行域可知，目标函数z2xy过可行域内的点(3，2)时，z有最大值8.【答案】84(2015课标，15，中)若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_【解析】根据约束条件，作出可行域如图所示，将目标函数化为y3xz通过平移可知当目标函数过的交点(1，1)时，有最大值4.【答案】45(2015 北京，13，难)如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_【解析】由z2x3y得yx，即目标直线l0yx的斜率k.kBC2，k
19、AC，kBCk0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5 B4 C. D2【答案】B约束条件的可行域如图因为a0，b0，所以目标函数yx在A点处取最小值联立方程解得所以2ab2.设P(a，b)，原点O(0，0)，则OP2a2b2表示直线上的点与原点距离的平方，所以OP2的最小值为O到直线l：2ab2的距离的平方，即d24.思路点拨：该题解题的关键是找到a，b满足的条件，再以a，b为变量，根据a2b2的几何意义求出其最大值. 7(2014辽宁，14，中)已知x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值为_【解析】画出可行域如图：当z3x4y过点A时，z最大，点A的坐标为
20、(2，3)，zmax324318.【答案】188(2014北京，13，中)若x，y满足则zxy的最小值为_【解析】画出可行域如图所示，当zxy过点A时，zmin1.【答案】19(2012浙江，14，中)设zx2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是_【解析】画出可行域如图，由zx2y，得yx，则的几何意义是直线yx在y轴上的截距，当直线过点O和直线xy10和xy20的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.【答案】10(2014江西，15，中)x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_【解析】设f(x)|x|x1|，f(x)f(x)的图象如图： 从图象可知f(x
21、)1，即|x|x1|1，同理得|y|y1|1，而已知|x|y|x1|y1|2，由此可得|x|x1|1且|y|y1|1.由图象知当x0，1时，|x|x1|1成立，同理当y0，1时，|y|y1|1成立xy0，2【答案】0，2思路点拨：本题关键在于找出|x|x1|的最小值，从而找出突破口考向1平面区域的相关问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是
22、位于同一半平面内的点，其坐标适合AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合AxByC0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大(1)(2014课标，9)设x，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A8 B7 C2 D1(2)(2014课标，11)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3【解析】(1)可行域如图，目标函数yx在A点处取得最大值，联立方程解得A(3，2)，zmax3227.(2)由约束条件作可行域如图阴影部分，联立解得
23、A.当a0时，A，zxay的最小值不存在，不满足题意；当a0时，由zxay得yx，由图可知，当直线过点A时，直线yx在y轴上的截距最小，z最小此时z7，解得a3或a5(舍去)综上a3.故选B.【答案】(1)B(2)B【点拨】解题(1)，(2)的关键是准确作出可行域，然后根据图形求解，注意解题(2)时要对a的取值进行分类讨论 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较；(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入
24、目标函数，求出目标函数的最值2线性规划中的参数问题及其求解思路线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值(1)(2013课标，14)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_(2)(2013江苏，9)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_(3)(2013浙江，15)设zkxy，其中实
25、数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.(1)【解析】可行域为平行四边形ABCD(如图所示)由z2xy，得y2xz.z的几何意义是直线y2xz在y轴上的截距，要使z最大，则z最小，所以当直线y2xz过点A(3，3)时，z最大，最大值为2333.【答案】3(2)【解析】yx2，y|x12x|x12.故抛物线yx2在x1处的切线方程为2xy10.设其与x轴，y轴交于A，B两点，则A，B(0，1)，区域D为如图阴影部分令zx2y，即yxz，易知yxz分别过A，B两点时z取最大、最小值，zmax20，zmin02(1)2，x2y的取值范围是.【答案】(3)【解析】画出如图所示的可行域其中A(2，3
26、)，B(2，0)，C(4，4)当k0时，显然不符合题意；当k0时，最大值在点C处取得，此时124k4，即k2；当k0时，最大值在点A处或C处取得，此时122k3或124k4，即k0(舍)或k20(舍)故k2.【答案】2思路点拨：解题(1)的关键是直线y2xz在y轴上的截距z与目标函数z的符号相反，即截距最大时z最小，截距最小时z最大；题(2)考查导数的几何意义、线性规划等知识，在求解过曲线上点的切线方程时，可通过几何意义得到，对于线性规划问题应通过数形结合求解；解题(3)时应注意对k的取值进行讨论，以便求得参数的值考向3线性规划的实际应用(2013湖北，9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排
27、900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元【解析】设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5，12)时，有最小值zmin36 800(元)【答案】C【点拨】先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转
28、化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式(2012江西，8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年
29、的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50，0 B30，20C20，30 D0，50【答案】B设黄瓜，韭菜的种植面积分别为x，y，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图当目标函数表示的直线zx0.9y在可行域上平移至点A(30，20)时，取得最大值，所以当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故选B.1(2015黑龙江大庆一模，5)已知x，y满足则2xy的最大值为()A1 B2C3 D4【答案】B设z2xy，则y2xz，作出不等式对应的平面区域如图阴影部分所示，平移直线y2
30、xz，由图象可知当直线y2xz经过点C(1，0)时，直线y2xz的截距最小，此时z最大，把C(1，0)代入直线z2xy得z2，所以2xy的最大值为2.思路点拨：根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个交点，将其代入2xy中，求出2xy的最大值即可2(2015山西忻州一模，4)不等式组所围成的平面区域的面积为()A3 B6C6 D3【答案】D如图，不等式组所围成的平面区域为ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，所求平面区域的面积为SABOSACO(2421)3.思路点拨：画出不等式组所围成的平面区域，利用三角形面积公式求解3(2015山东省实验中学一模，6)设x，y满足则z
31、xy()A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值【答案】B作出不等式组表示的可行域，如图所示(阴影部分)由zxy，得yxz，作直线yx，平移直线yx，由图可知当直线经过点C(2，0)时，直线yxz的截距最小，此时z的最小值为2，没有最大值4(2014河北石家庄正定中学月考，10)已知z2xy，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是()A. B. C. D.【答案】A根据题意画出如图所示的可行域平移直线l：2xy0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1，1)时z最大，由题意知，zmax4zmin，即343m，m.5(2014湖南娄底
32、二模，10)已知O为坐标原点，点M的坐标为(1，1)若点N(x，y)的坐标满足则的最大值为()A. B2 C. D2【答案】B如图，点N在图中阴影区域内，当O，M，N共线，且|2时，最大，此时N(，)，(1，1)(，)2，故选B.6(2015安徽池州一模，8)已知x，y满足则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C不等式组表示的平面区域如图因为1，而为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点A(3，4)与点(4，2)连线的斜率最大为，所以1的取值范围为，故选C.思路点拨：遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题时，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答7(20
33、15湖南常德一模，8)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z()A4 650元 B4 700元 C4 900元 D5 000元【答案】C设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则目标函数z450x350y.作出可行域为如图所示阴影部分包含的整点当时，zmax450735054 900，故选C.8(2015湖北武汉一模
34、，14)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_【解析】易知直线ykx恒过点A，作出可行域如图，由图可知，当直线经过线段BC的中点D时，平分可行域ABC的面积，由题意得点C(0，4)，B(1，1)，从而D，于是kkAD.【答案】9(2015江西景德镇一模，13)设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为_【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为.【答案】10(2015江苏扬州一模，9)在平面直角坐标系xOy中，记不等式组表示的平面区域为D.若对数函
35、数ylogax(a1)的图象与D有公共点，则a的取值范围是_【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，a1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时解得即A(2，3)，此时loga23，解得a，当1a时，满足条件实数a的取值范围是1a.【答案】(1，思路点拨：作出不等式组表示的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论11(2014河北承德一模，14)设函数f(x)x2axb，且方程f(x)0在区间(0，1)和(1，2)上各有一解，则2ab的取值范围为_【解析】函数f(x)x2axb，且方程f(x)0在区间(0，1)和(1，2)上各有一解，函数f(x)x2axb在区间(0，1)和(1
36、，2)上各有一个零点又f(x)x2axb是开口向上的抛物线，f(1)0，f(0)0.即f(1)ab10，f(0)b0，画出约束条件表示的可行域如图，设2abz，由解得A(3，2)，z2ab经过点A时取得最小值，最小值为8，由得B(1，0)，z2ab经过B点时取得最大值，最大值为2，所以2ab的取值范围为(8，2)【答案】(8，2)思路点拨：由已知方程x2axb0在区间(0，1)和(1，2)上各有一个根，根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到f(1)0，f(0)0.画出约束条件表示的可行域，即可求解2ab的范围1(2015福建，5，易)若直线1(a0，b0)过点(1，1
37、)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5【答案】C直线1过点(1，1)，1.a0，b0，ab(ab)2224(当且仅当ab2时，等号成立)ab的最小值为4.2(2015湖南，7，中)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4【答案】C因为，所以a，b同号且均大于零，由均值不等式可得2，所以ab2.当且仅当时取等号所以ab最小值为2.3(2015重庆，14，易)设a，b0，ab5，则的最大值为_【解析】令t，则t2()2a1b329a1b318，当且仅当a1b3时，即a，b时，等号成立即t的最大值为3.【答案】34(2015山东，14，中)定义运算“”：xy(x，yR，
38、xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_【解析】由xy，得xy(2y)x.因为x0，y0，所以，当且仅当xy时，等号成立【答案】1(2011陕西，3，易)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab【答案】B方法一：由a，b，0ab，及均值不等式知，故选B.方法二：特殊值法，令a1，b2，代入验证即可2(2012陕西，10，中)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv【答案】A设甲乙两地相距为s，则v.ab，a.又2，v.故av0，1，即1.ab(ab)1(ab)774，当且仅当时，“”成立，即ab的最
39、小值为74.5(2013福建，7，中)若2x2y1，则xy的取值范围是()A0，2 B2，0C2，) D(，2【答案】D因为2x0，2y0，所以12x2y22，当且仅当xy时，取等号，故，即2xy22.由指数函数的单调性知xy2，故选D.6(2013山东，12，中)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B. C2 D.C3231，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.故选C.7(2012湖北，9，中)设a，b，cR，则“abc1”是“abc”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但
40、不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】Aabc1，abc.a，b，cR，22，同理，当且仅当abc时取等号得abc，故abc1是abc的充分条件再令a2，bc1，满足abc，但abc1，故abc1不是abc的必要条件故选A.思路点拨：本题以充分、必要条件为载体，考查学生对基本不等式的应用能力解题时注意从“充分性”和“必要性”两个方面说明8(2014浙江，16，难)已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_【解析】方法一：abc0，bca.a2b2c2a2(bc)22bc2a22bc1.2a212bc.由不等式得：2bc.2a21.a2，a，amax.方法
41、二：由abc0，得c(ab)，代入a2b2c21，得a2b2(ab)21，即b2aba20.把它看成关于b的一元二次方程，要使其有解，则0，即a240，解得a，amax.【答案】考向1利用基本不等式求最值1基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数(2)重要不等式：aR，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(3)几个常用的重要结论2(a与b同号，当且仅当ab时取等号)；a2(a0，当且仅当a1时取等号)，a2(a0，当且仅当ab时取等号)2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是
42、定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大)求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立(1)(2014辽宁，16)对于c0，当非零实数a，b满足4a22abb2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_(2)(2013四川，13)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_【解析】(1)由题意得c4a2b22ab(2ab)26ab.2ab，当且仅当2ab时取“
43、”，6ab3，c(2ab)26ab(2ab)23，即c，|2ab|2，当且仅当2ab时，|2ab|有最大值2.此时|2a2a|2，c4a2，11，的最小值为1.(2)x0，a0，f(x)4x24，当且仅当4x，即4x2a时f(x)取得最小值又x3，a43236.【答案】(1)1(2)36【点拨】解题(1)时需注意分析基本不等式成立的条件；解题(2)的关键是准确写出不等式成立的条件，以便求参数a的值 利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(
44、2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等(1)(2011重庆，7)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1 B1C3 D4(2)(2012浙江，9)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是 ()A. B. C5 D6(1)【答案】Cf(x)x(x2)222，当且仅当x2，即x1(舍)或3时，上式取最小值，即a3，故选C.(2)【答案】C由x3y5xy，得5(x0，y0)，则3x4y(3x4y)(1312)5.当且仅当，即x2y时
45、，等号成立，此时由解得故选C.考向2基本不等式的实际应用(1)(2011北京，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件(2)(2014湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；如果限定
46、车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时【思路导引】解题(1)的关键是对函数表达式变形转化，利用基本不等式求最值；解题(2)把所给l的值代入，分子、分母同除以v，构造基本不等式求最值【解析】(1)每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则220，当且仅当，即x80时“”成立，每批应生产产品80件(2)若l6.05，则F.v0，v1821840，F1 900.若l5，则F.v0，v1838，F2 000.此时最大车流辆比(1)中的最大车流量增加100辆/小时【答案】(1)B(2)1 900100 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问
47、题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解(2012江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹
48、可以击中它？请说明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可以击中目标，即存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立，故关于k的方程a2k220aka2640有正根，所以有判别式(20a)24a2(a264)0，即a6.所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标1(2015福建南平一模，6)若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.【答案】Da0，b0，且ab4，4ab2，2，即ab4.A项，ab4，故A不恒成立；B项，ab4ab，1，故B不恒成立
49、；C项，2，C不恒成立D项，因为2，所以a2b28，所以.D恒成立2(2015山东青岛二模，7)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2 B2 C4 D2【答案】C因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号3(2014闽南四校联考，8)设a0，若关于x的不等式x4在x(0，)上恒成立，则a的最小值为()A4 B2 C16 D1【答案】A因为x0，a0，所以x2，要使x4在x(0，)上恒成立，则需24，所以a4，从而a的最小值为4，故选A.4(2015湖北咸宁一模，7)已知第一象限的点(a，b)在直线2x3y10上，
50、则代数式的最小值为()A24 B25 C26 D27【答案】B因为第一象限的点(a，b)在直线2x3y10上，所以2a3b10，a0，b0，即2a3b1，所以(2a3b)4913225，当且仅当，即ab时取等号，所以的最小值为25，选B.5(2015江西五校联考，7)设a0，b1，若ab2，则的最小值为()A32 B6C4 D2【答案】A由题意可知ab2，ab11，(ab1)2132，当且仅当，即a2，b1时取等号6(2015山西师大附中调研，12)已知函数f(x)ln ，若fff503(ab)，则a2b2的最小值为()A6 B8 C9 D12【答案】B因为f(x)f(ex)lnlnln e2
51、2，所以fff22 012，即ab4，由不等式可得a2b28，当且仅当ab时，等号成立，故选B.7(2015河南郑州一模，8)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B. C5 D4【答案】B作出可行域，如图所示，由zaxby，得yx，因为a0，b0，所以直线斜率0，直线截距越大，z越大，作出直线yx，由图象可知当直线yx经过点B时，截距最大，此时z12，由得代入直线zaxby得4a6b12，即1.所以2，当且仅当，即ab时取等号，故选B.8(2015湖北鄂州一模，14)已知x0，则的最大值为_【解析】因为，又x0时，x24，当且仅当x，即x
52、2时取等号，所以0，即的最大值为.【答案】9(2015湖南邵阳一模，15)设(1，2)，(a，1)，(b，0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是_【解析】易知(a1，1)，(b1，2)因为A，B，C三点共线，所以2(a1)(b1)0，即2ab1.又a0，b0，所以(2ab)4448，当且仅当a，b时，等号成立【答案】810(2015安徽望江中学二模，14)设二次函数f(x)ax24xc(xR)的值域为0，)，则的最大值为_【解析】由题意知a0，164ac0，c0，11.a0，a12，1.【答案】11(2015湖北孝感一模，18，12分)某工厂去年某产品的年销售量为
53、100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品的固定成本为8元，今年，工厂第一次投入100万元，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)(k0，k为常数，nN)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？解：(1)g(n)，当n0时，由题意得k8.从而第n次投入后的年利润f(n)为f(n)(10010n)100n1 00080.(2)由(1)知f(n)1000801 000802520，当且仅
54、当，即n8时取等号所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元(时间：90分钟_分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1(2014陕西咸阳二模，5)下列命题中，正确的是()A若ab，cd，则acbd B若acbc，则abC若，则ab D若ab，cd，则acbd【答案】C对于A项，只有在a，b，c，d均为正数时成立；对于B项，当c0时，则acbcab，所以错误；由不等式的性质知C项正确；对于D项，同向不等式作差一般不成立，例如，ca，db时，acbd不成立，故选C.2(2012湖南，7)设ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的
55、正确结论的序号是()A BC D【答案】Dab1，.又c0，故正确构造函数yxc.c0，yxc在(0，)上是减函数又ab1，acbc，故正确ab1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确3(2015安徽马鞍山一模，5)已知logbloga0c1，则()A2b2a2c B2a2b2cC2c2b2a D2c2a2b【答案】A由logbloga0，得ba1.又0c1，0c1.cab，2b2a2c.4(2014天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5【答案】B由线性约束条件画
56、出可行域(如图所示)由zx2y，得yxz，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线yxz过点A(1，1)时，z最小，最小值为3，故选B.5(2014湖北，4)若变量x，y满足约束条件则2xy的最大值是()A2 B4 C7 D8【答案】C画出可行域如图(阴影部分)，设目标函数为z2xy，由解得A(3，1)，当目标函数过A(3，1)时取得最大值，zmax2317，故选C.6(2013重庆，3)(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.【答案】B因为6a3，所以，当且仅当3aa6，即a时等号成立，故选B.7(2015江西抚州一模，10)已知正数a，b，c满足ab
57、ab，abcabc，则c的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D正数a，b满足abab，ab2()2202ab4.由abab，abcabc，得c1.ab4，ab13，0，11，故选D.8(2011北京，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件【答案】B每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则220，当且仅当，即x80时“”成立，每批应生产产品80件，故选B.9(20
58、11广东，6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A3 B4 C3 D4【答案】B由题意知区域D用图表示为：zxy.当点M的坐标是(，2)时，z取最大值，zmax4，故选B.10(2015山东泰安一模，7)设奇函数f(x)在1，1上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)t22at1对所有的x1，1都成立，则当a1，1时t的取值范围是()A2t2 BtCt2或t0或t2 Dt或t0或t【答案】C因为奇函数f(x)在1，1上是增函数，且f(1)1，所以最大值为f(1)1，要使f(x)t22at1对所有的x1，1都成立，
59、则1t22at1，即t22at0，即t(t2a)0，当t0时，不等式成立当0a1时，不等式的解为t2a2.当1a0时，不等式的解为t2a2.综上选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11(2014福建厦门二模，11)若不等式ax2bxc0的解集是(4，1)，则不等式b(x21)a(x3)c0的解集为_【解析】由题意可知，4，1是方程ax2bxc0的两根，且a0，所以3，4，即b3a，c4a，b(x21)a(x3)c0可变为3x2x40，解得x1.【答案】12(2014湖南，13)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_【解析】二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC的
60、内部及其边界，由z2xy得y2xz.当直线y2xz过B点时，z最大由得B(3，1)，因此，当x3，y1时，zmax2317.【答案】713(2013北京，12)设D为不等式组表示的平面区域区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为_【解析】不等式组表示的平面区域如图所示由题意得A(1，2)，B(0，3)，O(0，0)由图可知最小值是点(1，0)到直线y2x的距离，即d.【答案】14(2012四川，16)设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)【解析】中，a2b2(ab
61、)(ab)1，a，b为正实数，若ab1，则必有ab1，a2b21，不合题意，故正确中，1，只需abab即可如取a2，b满足上式，但ab1，故错中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确【答案】三、解答题(共4小题，共50分)15(12分)(2015山东潍坊调研，18)解关于x的不等式ax2(a1)x10.解：若a0，原不等式等价于x10，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0，解得x或x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x
62、1)0无解；当a1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1时，1，解(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.16(12分)(2015河南郑州质检，18)若正数x，y满足x2y44xy，且不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，求实数a的取值范围解：正实数x，y满足x2y44xy，即x2y4xy4，不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，即(4xy4)a22a2xy340恒成立，变形得2xy(2a21)4a22a34恒成立，即xy恒成立又x0，y0，x2y2，4xyx2y442，即2()220，或(舍
63、去)，可得xy2.要使xy恒成立，只需2恒成立，化简得2a2a150，解得a3或a.故a的取值范围是(，3.思路点拨：不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，即xy恒成立，由基本不等式结合不等式的解法得xy2，故只需2恒成立，解关于a的不等式可得结论17(12分)(2015黑龙江哈尔滨三模，18)本地一公司计划2015年在省、市两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，省、市电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，预计省、市两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元那么该公司如何分配在省、市两个电视台的广告时间
64、，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设该公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z3 000x2 000y.上述二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立解得点M的坐标为(100，200)zmax3 000x2 000y700 000(元)即该公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为100分钟和200分钟时，总收益最大，最大收益为70万元18(14分)(2015广州惠州质检，20)
65、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160804 160(x1)(2)由(1)知，S(x)804 1608024 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米
