1、考点规范练23解三角形基础巩固1.在ABC中,c=3,A=75,B=45,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.C.2D.4答案:B解析:在ABC中,c=3,A=75,B=45,故C=180-A-B=60.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故ABC的外接圆的面积S=R2=.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a
2、=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,cosB=12,B=3.又S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-1
3、4=cosA=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.5.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:D解析:ABC的三内角A,B,C成等差数列,B=3.sinA,sinB,sinC成等比数列,sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.6.如图,两座相距60 m的建筑物A
4、B,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案:B解析:依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案:A解析:
5、在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.cosB=12,即B=3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,当且仅当a=c时取等号,因此,ABC的面积S=12acsinB=34ac43,故选A.8.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,则C=.答案:3解析:在ABC中,(sinA-sinC)
6、(a+c)b=sinA-sinB,(a-c)(a+c)b=a-b.a2+b2-c2=ab,cosC=a2+b2-c22ab=12.C=3.9.在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案:6解析:由题意及正弦定理,可知ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=332,故ADB=45.所以12A=180-120-45,故A=30,则C=30,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=22sin60=6.10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平
7、地面上两个观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为米.答案:1406解析:由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BACAcosBAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.在ACH中,AC=420米,CAH=30+15=45,CHA=90-30=60,由正弦定理得CHsinCAH=ACsinAHC,可得CH=ACsinCAHsinAHC=1406(米).11.(2
8、020全国,文17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.答案:(1)解由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于0A,故A=3.(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3.即12sinB-32cosB=12,sinB-3=12.由于0B0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定
9、理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sinC=12,所以C=6,故选B.14.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案:233解析:由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=30,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.15.
10、在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果ABC的面积等于8,a=5,tan B=-43,那么a+b+csinA+sinB+sinC=.答案:5654解析:在ABC中,tanB=-43,sinB=45,cosB=-35.又SABC=12acsinB=2c=8,c=4,b=a2+c2-2accosB=65.a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=5654.16.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于14a,求cos A的值.解:(1)因为bcosC+bsinC=a,由正弦定理,得sin
11、BcosC+sinBsinC=sinA.因为A+B+C=,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.因为sinC0,所以sinB=cosB.因为cosB0,所以tanB=1.因为B(0,),所以B=4.(2)设BC边上的高线为AD,则AD=14a.因为B=4,则BD=AD=14a,CD=34a.所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=-55.高考预测17.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=23,求角C的大小.解:(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsinA=2bc3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.
